Cálculo Exemplos

$f (x) = \tan (\frac{π x}{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = \frac{π x}{2}$ .

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Etapa 1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{π x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Etapa 1.1.1.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Etapa 1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{π x}{2}$ .

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

Como $\frac{π}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{π x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.2.2

Combine $\frac{π}{2}$ e $\sec^{2} (\frac{π x}{2})$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} \cdot 1$

Etapa 1.1.2.4

Multiplique $\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$π \sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $π \sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$ por $π$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1.1

Divida cada termo em $π \sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$ por $π$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{π} = \frac{0}{π}$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 2.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{π} = \frac{0}{π}$

Etapa 2.3.1.2.1.2

Divida $\sec^{2} (\frac{π x}{2})$ por $1$ .

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) = \frac{0}{π}$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1.3.1

Divida $0$ por $π$ .

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$

Etapa 2.3.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sec (\frac{π x}{2}) = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.3.3

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\sec (\frac{π x}{2}) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.3.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sec (\frac{π x}{2}) = \pm 0$

Etapa 2.3.3.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$\sec (\frac{π x}{2}) = 0$

Etapa 2.3.4

O intervalo da secante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $0$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o argumento em $\sec (\frac{π x}{2})$ como igual a $\frac{π}{2} + π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Etapa 3.2.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Etapa 3.2.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 3.2.2.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Simplifique $\frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$ .

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Etapa 3.2.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{2}{π} (π n)$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{2}{π} (π n)$

Etapa 3.2.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x = \frac{1}{π} π + \frac{2}{π} (π n)$

Etapa 3.2.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 3.2.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{1}{π} π + \frac{2}{π} (π n)$

Etapa 3.2.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$x = 1 + \frac{2}{π} (π n)$

Etapa 3.2.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 3.2.2.2.1.4.1

Fatore $π$ de $π n$ .

$x = 1 + \frac{2}{π} (π (n))$

Etapa 3.2.2.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$x = 1 + \frac{2}{π} (π n)$

Etapa 3.2.2.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$x = 1 + 2 n$

Etapa 3.2.3

Reordene $1$ e $2 n$ .

$x = 2 n + 1$

Etapa 3.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

${x | x = 2 n + 1}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado