Cálculo Exemplos

$g (y) = \frac{y - 4}{y^{2} - 2 y + 8}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ é $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , em que $f (y) = y - 4$ e $g (y) = y^{2} - 2 y + 8$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) \frac{d}{d y} [y - 4] - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 4$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]) - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) (1 + \frac{d}{d y} [- 4]) - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Como $- 4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 4$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) (1 + 0) - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) \cdot 1 - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Multiplique $y^{2} - 2 y + 8$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} - 2 y + 8$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [8]$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $y$ é $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.10

Como $8$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $8$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 + 0)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.11

Some $2 y - 2$ e $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 + (- y - - 4) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 + (- y + 4) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.2

Expanda $(- y + 4) (2 y - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.3.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - y (2 y - 2) + 4 (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 4 (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.3.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.2.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.3.1.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.3.2.1.3.1.2.1

Mova $y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.3.1.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.3.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 2 y + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.3.1.5

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 2 y + 8 y + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.3.1.6

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 2 y + 8 y - 8}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.3.2

Some $2 y$ e $8 y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 10 y - 8}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.2

Combine os termos opostos em $y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 10 y - 8$ .

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Etapa 1.1.3.2.2.1

Subtraia $8$ de $8$ .

$\frac{y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 10 y + 0}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.2.2

Some $y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 10 y$ e $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 10 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.3

Subtraia $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - 2 y + 10 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.4

Some $- 2 y$ e $10 y$ .

$\frac{- y^{2} + 8 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Fatore $y$ de $- y^{2} + 8 y$ .

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Etapa 1.1.3.3.1

Fatore $y$ de $- y^{2}$ .

$\frac{y (- y) + 8 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.2

Fatore $y$ de $8 y$ .

$\frac{y (- y) + y \cdot 8}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.3

Fatore $y$ de $y (- y) + y \cdot 8$ .

$\frac{y (- y + 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$\frac{y (- (y) + 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5

Reescreva $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$\frac{y (- (y) - 1 (- 8))}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6

Fatore $- 1$ de $- (y) - 1 (- 8)$ .

$\frac{y (- (y - 8))}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.7

Reescreva $- (y - 8)$ como $- 1 (y - 8)$ .

$\frac{y (- 1 (y - 8))}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (y) = - \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $g (y)$ com relação a $y$ é $- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$ .

$- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$y (y - 8) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $y$ .

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Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y = 0$

$y - 8 = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $y$ como igual a $0$ .

$y = 0$

Etapa 2.3.3

Defina $y - 8$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 2.3.3.1

Defina $y - 8$ como igual a $0$ .

$y - 8 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$y = 8$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $y (y - 8) = 0$ verdadeiro.

$y = 0, 8$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $\frac{y - 4}{y^{2} - 2 y + 8}$ em cada valor $y$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $y = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $y$ .

$\frac{(0) - 4}{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 8}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Subtraia $4$ de $0$ .

$\frac{- 4}{0^{2} - 2 \cdot 0 + 8}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{- 4}{0 - 2 \cdot 0 + 8}$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{- 4}{0 + 0 + 8}$

Etapa 4.1.2.2.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{- 4}{0 + 8}$

Etapa 4.1.2.2.4

Some $0$ e $8$ .

$\frac{- 4}{8}$

Etapa 4.1.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 4.1.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{8}$

Etapa 4.1.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Etapa 4.1.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Etapa 4.1.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{2}$

Etapa 4.1.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2}$

Etapa 4.2

Avalie em $y = 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $8$ por $y$ .

$\frac{(8) - 4}{{(8)}^{2} - 2 \cdot 8 + 8}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Subtraia $4$ de $8$ .

$\frac{4}{8^{2} - 2 \cdot 8 + 8}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\frac{4}{64 - 2 \cdot 8 + 8}$

Etapa 4.2.2.2.2

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$\frac{4}{64 - 16 + 8}$

Etapa 4.2.2.2.3

Subtraia $16$ de $64$ .

$\frac{4}{48 + 8}$

Etapa 4.2.2.2.4

Some $48$ e $8$ .

$\frac{4}{56}$

Etapa 4.2.2.3

Cancele o fator comum de $4$ e $56$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 (1)}{56}$

Etapa 4.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.2.1

Fatore $4$ de $56$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 14}$

Etapa 4.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 14}$

Etapa 4.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{14}$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(0, - \frac{1}{2}), (8, \frac{1}{14})$

Etapa 5