Cálculo Exemplos

$y = x \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.1.3.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $1 + \ln (x)$ .

$1 + \ln (x)$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $1 + \ln (x) = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$1 + \ln (x) = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\ln (x) = - 1$

Etapa 2.3

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Etapa 2.4

Reescreva $\ln (x) = - 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Etapa 2.5

Resolva $x$ .

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Etapa 2.5.1

Reescreva a equação como $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Etapa 2.5.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o argumento em $\ln (x)$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x \leq 0$

Etapa 3.2

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 4

Avalie $x \ln (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = \frac{1}{e}$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $\frac{1}{e}$ por $x$ .

$(\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{e}$ como $1 e^{- 1}$ .

$\frac{1}{e} \ln (1 e^{- 1})$

Etapa 4.1.2.2

Reescreva $\ln (1 e^{- 1})$ como $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$\frac{1}{e} (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Etapa 4.1.2.3

Use as regras logarítmicas para mover $- 1$ para fora do expoente.

$\frac{1}{e} (\ln (1) - \ln (e))$

Etapa 4.1.2.4

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\frac{1}{e} (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Etapa 4.1.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{e} (\ln (1) - 1)$

Etapa 4.1.2.6

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{1}{e} (0 - 1)$

Etapa 4.1.2.7

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{1}{e} \cdot - 1$

Etapa 4.1.2.8

Combine $\frac{1}{e}$ e $- 1$ .

$\frac{- 1}{e}$

Etapa 4.1.2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{e}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

$(0) \ln (0)$

Etapa 4.2.2

O logaritmo natural de zero é indefinido.

Indefinido

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(\frac{1}{e}, - \frac{1}{e})$

Etapa 5