Cálculo Exemplos

$y = {(1 + 5 x)}^{10}$ , $(0, 1)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(1 + 5 x)}^{10})$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{10}$ e $g (y) = 1 + 5 x$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + 5 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{10}] \frac{d}{d y} [1 + 5 x]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 10$ .

$10 u^{9} \frac{d}{d y} [1 + 5 x]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + 5 x$ .

$10 {(1 + 5 x)}^{9} \frac{d}{d y} [1 + 5 x]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 5 x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [5 x]$ .

$10 {(1 + 5 x)}^{9} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [5 x])$

Etapa 3.2.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$10 {(1 + 5 x)}^{9} (0 + \frac{d}{d y} [5 x])$

Etapa 3.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [5 x]$ .

$10 {(1 + 5 x)}^{9} \frac{d}{d y} [5 x]$

Etapa 3.2.4

Como $5$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $5 x$ em relação a $y$ é $5 \frac{d}{d y} [x]$ .

$10 {(1 + 5 x)}^{9} (5 \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 3.2.5

Multiplique $5$ por $10$ .

$50 {(1 + 5 x)}^{9} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$50 {(1 + 5 x)}^{9} x'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = 50 {(1 + 5 x)}^{9} x'$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $50 {(1 + 5 x)}^{9} x' = 1$ .

$50 {(1 + 5 x)}^{9} x' = 1$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $50 {(1 + 5 x)}^{9} x' = 1$ por $50 {(1 + 5 x)}^{9}$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $50 {(1 + 5 x)}^{9} x' = 1$ por $50 {(1 + 5 x)}^{9}$ .

$\frac{50 {(1 + 5 x)}^{9} x'}{50 {(1 + 5 x)}^{9}} = \frac{1}{50 {(1 + 5 x)}^{9}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $50$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{50 {(1 + 5 x)}^{9} x'}{50 {(1 + 5 x)}^{9}} = \frac{1}{50 {(1 + 5 x)}^{9}}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(1 + 5 x)}^{9} x'}{{(1 + 5 x)}^{9}} = \frac{1}{50 {(1 + 5 x)}^{9}}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de ${(1 + 5 x)}^{9}$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(1 + 5 x)}^{9} x'}{{(1 + 5 x)}^{9}} = \frac{1}{50 {(1 + 5 x)}^{9}}$

Etapa 5.2.2.2.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{50 {(1 + 5 x)}^{9}}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{50 {(1 + 5 x)}^{9}}$

Etapa 7

Substitua $x$ por $0$ e $y$ por $1$ na expressão.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{50 {(1 + 5 (0))}^{9}}$

Etapa 8

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.1.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{1}{50 {(1 + 0)}^{9}}$

Etapa 8.1.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{50 \cdot 1^{9}}$

Etapa 8.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{50 \cdot 1}$

Etapa 8.2

Multiplique $50$ por $1$ .

$\frac{1}{50}$