Cálculo Exemplos

$x y^{2} = y$ , $(1, 1)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (x y^{2}) = \frac{d}{d y} (y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = x$ e $g (y) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$2 \cdot x y + y^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$2 x y + y^{2} x'$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 x y + y^{2} x' = 1$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $2 x y$ dos dois lados da equação.

$y^{2} x' = 1 - 2 x y$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $y^{2} x' = 1 - 2 x y$ por $y^{2}$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $y^{2} x' = 1 - 2 x y$ por $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} x'}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}} + \frac{- 2 x y}{y^{2}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} x'}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}} + \frac{- 2 x y}{y^{2}}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{y^{2}} + \frac{- 2 x y}{y^{2}}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $y$ e $y^{2}$ .

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Etapa 5.2.3.1.1.1

Fatore $y$ de $- 2 x y$ .

$x' = \frac{1}{y^{2}} + \frac{y (- 2 x)}{y^{2}}$

Etapa 5.2.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.1.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$x' = \frac{1}{y^{2}} + \frac{y (- 2 x)}{y \cdot y}$

Etapa 5.2.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x' = \frac{1}{y^{2}} + \frac{y (- 2 x)}{y \cdot y}$

Etapa 5.2.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{1}{y^{2}} + \frac{- 2 x}{y}$

Etapa 5.2.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = \frac{1}{y^{2}} - \frac{2 x}{y}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{y^{2}} - \frac{2 x}{y}$

Etapa 7

Substitua $x$ por $1$ e $y$ por $1$ na expressão.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{{(1)}^{2}} - \frac{2 (1)}{1}$

Etapa 8

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{1} - \frac{2 (1)}{1}$

Etapa 8.1.2

Divida $1$ por $1$ .

$1 - \frac{2 (1)}{1}$

Etapa 8.1.3

Divida $2 (1)$ por $1$ .

$1 - (2 (1))$

Etapa 8.1.4

Multiplique $- (2 (1))$ .

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Etapa 8.1.4.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$1 - 1 \cdot 2$

Etapa 8.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$1 - 2$

Etapa 8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- 1$