Cálculo Exemplos

$f (x) = 8 + 4 e^{0.5 x}$ , $[- 3, 3]$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$8 + 4 e^{0.5 x} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $8 + 4 e^{0.5 x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$4 e^{0.5 x} = - 8$

Etapa 1.2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (4 e^{0.5 x}) = \ln (- 8)$

Etapa 1.2.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- 8)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 1.2.4

Não há uma solução para $4 e^{0.5 x} = - 8$

Nenhuma solução

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} d x - \int_{- 3}^{3} 0 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 3$ e $3$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} - (0) d x$

Etapa 3.2

Subtraia $0$ de $8 + 4 e^{0.5 x}$ .

$\int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 3}^{3} 8 d x + \int_{- 3}^{3} 4 e^{0.5 x} d x$

Etapa 3.4

Aplique a regra da constante.

$8 x]_{- 3}^{3} + \int_{- 3}^{3} 4 e^{0.5 x} d x$

Etapa 3.5

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 3}^{3} e^{0.5 x} d x$

Etapa 3.6

Deixe $u = 0.5 x$ . Depois, $d u = 0.5 d x$ , então, $\frac{1}{0.5} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.6.1

Deixe $u = 0.5 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.6.1.1

Diferencie $0.5 x$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x]$

Etapa 3.6.1.2

Como $0.5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0.5 x$ em relação a $x$ é $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0.5 \cdot 1$

Etapa 3.6.1.4

Multiplique $0.5$ por $1$ .

$0.5$

Etapa 3.6.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 0.5 x$ .

$u_{lower} = 0.5 \cdot - 3$

Etapa 3.6.3

Multiplique $0.5$ por $- 3$ .

$u_{lower} = - 1.5$

Etapa 3.6.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 0.5 x$ .

$u_{upper} = 0.5 \cdot 3$

Etapa 3.6.5

Multiplique $0.5$ por $3$ .

$u_{upper} = 1.5$

Etapa 3.6.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 1.5$

$u_{upper} = 1.5$

Etapa 3.6.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} \frac{1}{0.5} d u$

Etapa 3.7

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{0.5}$ .

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 1.5}^{1.5} \frac{e^{u}}{0.5} d u$

Etapa 3.8

Como $\frac{1}{0.5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{0.5}$ para fora da integral.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 (\frac{1}{0.5} \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} d u)$

Etapa 3.9

Combine $\frac{1}{0.5}$ e $4$ .

$8 x]_{- 3}^{3} + \frac{4}{0.5} \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} d u$

Etapa 3.10

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$8 x]_{- 3}^{3} + \frac{4}{0.5} e^{u}]_{- 1.5}^{1.5}$

Etapa 3.11

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.11.1

Avalie $8 x$ em $3$ e em $- 3$ .

$(8 \cdot 3) - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} e^{u}]_{- 1.5}^{1.5}$

Etapa 3.11.2

Avalie $e^{u}$ em $1.5$ e em $- 1.5$ .

$(8 \cdot 3) - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

Etapa 3.11.3

Simplifique.

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Etapa 3.11.3.1

Multiplique $8$ por $3$ .

$24 - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

Etapa 3.11.3.2

Multiplique $- 8$ por $- 3$ .

$24 + 24 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

Etapa 3.11.3.3

Some $24$ e $24$ .

$48 + \frac{4}{0.5} (e^{1.5} - e^{- 1.5})$

Etapa 3.12

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.12.1

Divida $4$ por $0.5$ .

$48 + 8 (e^{1.5} - e^{- 1.5})$

Etapa 3.12.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$48 + 8 (e^{1.5} - \frac{1}{e^{1.5}})$

Etapa 3.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$48 + 8 e^{1.5} + 8 (- \frac{1}{e^{1.5}})$

Etapa 3.12.4

Multiplique $8 (- \frac{1}{e^{1.5}})$ .

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Etapa 3.12.4.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$48 + 8 e^{1.5} - 8 \frac{1}{e^{1.5}}$

Etapa 3.12.4.2

Combine $- 8$ e $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$48 + 8 e^{1.5} + \frac{- 8}{e^{1.5}}$

Etapa 3.12.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$48 + 8 e^{1.5} - \frac{8}{e^{1.5}}$

Etapa 4