Cálculo Exemplos

$14 \cos (x) + 7 \sin (2 x)$

Etapa 1

Escreva $14 \cos (x) + 7 \sin (2 x)$ como uma função.

$f (x) = 14 \cos (x) + 7 \sin (2 x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $14 \cos (x) + 7 \sin (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [14 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [14 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [14 \cos (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $14 \cos (x)$ em relação a $x$ é $14 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$14 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 x)]$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$14 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 x)]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 1$ por $14$ .

$- 14 \sin (x) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 \sin (2 x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 14 \sin (x) + 7 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Etapa 2.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Etapa 2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (2 \cdot \cos (2 x))$

Etapa 2.3.7

Multiplique $2$ por $7$ .

$- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 14 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [14 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 14 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (14 \cos (2 x))$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 14 \sin (x)]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 14 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 14 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 14 \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (14 \cos (2 x))$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + \frac{d}{d x} (14 \cos (2 x))$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [14 \cos (2 x)]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $14 \cos (2 x)$ em relação a $x$ é $14 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 3.3.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 3.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Etapa 3.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Etapa 3.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 3.3.7

Multiplique $- 2$ por $14$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) - 28 \sin (2 x)$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x) = 0$

Etapa 5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 14 \sin (x) + 14 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 14 \sin (x) + 14 \cdot 1 + 14 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 5.3

Multiplique $14$ por $1$ .

$- 14 \sin (x) + 14 + 14 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 5.4

Multiplique $- 2$ por $14$ .

$- 14 \sin (x) + 14 - 28 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 6

Fatore $- 14 \sin (x) + 14 - 28 \sin^{2} (x)$ .

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Etapa 6.1

Fatore $14$ de $- 14 \sin (x) + 14 - 28 \sin^{2} (x)$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $14$ de $- 14 \sin (x)$ .

$14 (- \sin (x)) + 14 - 28 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 6.1.2

Fatore $14$ de $14$ .

$14 (- \sin (x)) + 14 (1) - 28 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 6.1.3

Fatore $14$ de $- 28 \sin^{2} (x)$ .

$14 (- \sin (x)) + 14 (1) + 14 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 6.1.4

Fatore $14$ de $14 (- \sin (x)) + 14 (1)$ .

$14 (- \sin (x) + 1) + 14 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 6.1.5

Fatore $14$ de $14 (- \sin (x) + 1) + 14 (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$14 (- \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 6.2

Fatore.

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Etapa 6.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 6.2.1.1

Reordene os termos.

$14 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Etapa 6.2.1.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ e cuja soma é $b = - 1$ .

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Etapa 6.2.1.2.1

Fatore $- 1$ de $- \sin (x)$ .

$14 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Etapa 6.2.1.2.2

Reescreva $- 1$ como $1$ mais $- 2$

$14 (- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1) = 0$

Etapa 6.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$14 (- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Etapa 6.2.1.2.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$14 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Etapa 6.2.1.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 6.2.1.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$14 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Etapa 6.2.1.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$14 (\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1)) = 0$

Etapa 6.2.1.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 2 \sin (x) + 1$ .

$14 ((- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)) = 0$

Etapa 6.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$14 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

Etapa 7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Etapa 8

Defina $- 2 \sin (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.1

Defina $- 2 \sin (x) + 1$ como igual a $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Etapa 8.2

Resolva $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 8.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Etapa 8.2.2

Divida cada termo em $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 8.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 8.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 8.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 8.2.2.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 8.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 8.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 8.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 8.2.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Etapa 8.2.6

Simplifique $π - \frac{π}{6}$ .

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Etapa 8.2.6.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 8.2.6.2

Combine frações.

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Etapa 8.2.6.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 8.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 8.2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.6.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 8.2.6.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 8.2.7

A solução para a equação $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Etapa 9

Defina $\sin (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.1

Defina $\sin (x) + 1$ como igual a $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Etapa 9.2

Resolva $\sin (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 9.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\sin (x) = - 1$

Etapa 9.2.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Etapa 9.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.3.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Etapa 9.2.4

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 9.2.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 9.2.5.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 9.2.5.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 9.2.6

A solução para a equação $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Etapa 10

A solução final são todos os valores que tornam $14 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{6}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 14 \cos (\frac{π}{6}) - 28 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 14 \frac{\sqrt{3}}{2} - 28 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 12.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.2.1

Fatore $2$ de $- 14$ .

$2 (- 7) \frac{\sqrt{3}}{2} - 28 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 12.1.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 7 \frac{\sqrt{3}}{2} - 28 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 12.1.2.3

Reescreva a expressão.

$- 7 \sqrt{3} - 28 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 12.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.1.3.1

Fatore $2$ de $6$ .

$- 7 \sqrt{3} - 28 \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Etapa 12.1.3.2

Cancele o fator comum.

$- 7 \sqrt{3} - 28 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Etapa 12.1.3.3

Reescreva a expressão.

$- 7 \sqrt{3} - 28 \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 12.1.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 7 \sqrt{3} - 28 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 12.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.1.5.1

Fatore $2$ de $- 28$ .

$- 7 \sqrt{3} + 2 (- 14) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 12.1.5.2

Cancele o fator comum.

$- 7 \sqrt{3} + 2 \cdot - 14 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 12.1.5.3

Reescreva a expressão.

$- 7 \sqrt{3} - 14 \sqrt{3}$

Etapa 12.2

Subtraia $14 \sqrt{3}$ de $- 7 \sqrt{3}$ .

$- 21 \sqrt{3}$

Etapa 13

$x = \frac{π}{6}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{6}$ é um máximo local

Etapa 14

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{6}$ .

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Etapa 14.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{6}$ na expressão.

$f (\frac{π}{6}) = 14 \cos (\frac{π}{6}) + 7 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 14.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 14.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 14 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 7 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 14.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1.2.1

Fatore $2$ de $14$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (7) (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 7 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 14.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cdot (7 (\frac{\sqrt{3}}{2})) + 7 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 14.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} + 7 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 14.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1.3.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} + 7 \sin (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

Etapa 14.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} + 7 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

Etapa 14.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} + 7 \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 14.2.1.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} + 7 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 14.2.1.5

Combine $7$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} + \frac{7 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 14.2.2

Para escrever $7 \sqrt{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 14.2.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.3.1

Combine $7 \sqrt{3}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{7 \sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{7 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 14.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{7 \sqrt{3} \cdot 2 + 7 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 14.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.4.1

Multiplique $2$ por $7$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{14 \sqrt{3} + 7 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 14.2.4.2

Some $14 \sqrt{3}$ e $7 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{21 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 14.2.5

A resposta final é $\frac{21 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{21 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 15

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{5 π}{6}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 14 \cos (\frac{5 π}{6}) - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- 14 (- \cos (\frac{π}{6})) - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 16.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 14 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 16.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$- 14 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 16.1.3.2

Fatore $2$ de $- 14$ .

$2 (- 7) \frac{- \sqrt{3}}{2} - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 16.1.3.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 7 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 16.1.3.4

Reescreva a expressão.

$- 7 (- \sqrt{3}) - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 16.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$7 \sqrt{3} - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 16.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.5.1

Fatore $2$ de $6$ .

$7 \sqrt{3} - 28 \sin (2 \frac{5 π}{2 (3)})$

Etapa 16.1.5.2

Cancele o fator comum.

$7 \sqrt{3} - 28 \sin (2 \frac{5 π}{2 \cdot 3})$

Etapa 16.1.5.3

Reescreva a expressão.

$7 \sqrt{3} - 28 \sin (\frac{5 π}{3})$

Etapa 16.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$7 \sqrt{3} - 28 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 16.1.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$7 \sqrt{3} - 28 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 16.1.8

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$7 \sqrt{3} - 28 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 16.1.8.2

Fatore $2$ de $- 28$ .

$7 \sqrt{3} + 2 (- 14) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 16.1.8.3

Cancele o fator comum.

$7 \sqrt{3} + 2 \cdot - 14 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 16.1.8.4

Reescreva a expressão.

$7 \sqrt{3} - 14 (- \sqrt{3})$

Etapa 16.1.9

Multiplique $- 1$ por $- 14$ .

$7 \sqrt{3} + 14 \sqrt{3}$

Etapa 16.2

Some $7 \sqrt{3}$ e $14 \sqrt{3}$ .

$21 \sqrt{3}$

Etapa 17

$x = \frac{5 π}{6}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{5 π}{6}$ é um mínimo local

Etapa 18

Encontre o valor y quando $x = \frac{5 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5 π}{6}$ na expressão.

$f (\frac{5 π}{6}) = 14 \cos (\frac{5 π}{6}) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 18.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{5 π}{6}) = 14 (- \cos (\frac{π}{6})) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 18.2.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 14 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 18.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$f (\frac{5 π}{6}) = 14 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 18.2.1.3.2

Fatore $2$ de $14$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (7) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 18.2.1.3.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cdot (7 (\frac{- \sqrt{3}}{2})) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 18.2.1.3.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{6}) = 7 (- \sqrt{3}) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 18.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 18.2.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1.5.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

Etapa 18.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

Etapa 18.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + 7 \sin (\frac{5 π}{3})$

Etapa 18.2.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + 7 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 18.2.1.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + 7 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 18.2.1.8

Multiplique $7 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1.8.1

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} - 7 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 18.2.1.8.2

Combine $- 7$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + \frac{- 7 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 18.2.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} - \frac{7 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 18.2.2

Para escrever $- 7 \sqrt{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 18.2.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.3.1

Combine $- 7 \sqrt{3}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 7 \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{7 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 18.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 7 \sqrt{3} \cdot 2 - 7 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 18.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.4.1

Multiplique $2$ por $- 7$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 14 \sqrt{3} - 7 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 18.2.4.2

Subtraia $7 \sqrt{3}$ de $- 14 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 21 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 18.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{21 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 18.2.6

A resposta final é $- \frac{21 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - \frac{21 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 19

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 14 \cos (- \frac{π}{2}) - 28 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Etapa 20

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$- 14 \cos (\frac{3 π}{2}) - 28 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Etapa 20.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- 14 \cos (\frac{π}{2}) - 28 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Etapa 20.1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$- 14 \cdot 0 - 28 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Etapa 20.1.4

Multiplique $- 14$ por $0$ .

$0 - 28 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Etapa 20.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{2}$ para o numerador.

$0 - 28 \sin (2 \frac{- π}{2})$

Etapa 20.1.5.2

Cancele o fator comum.

$0 - 28 \sin (2 \frac{- π}{2})$

Etapa 20.1.5.3

Reescreva a expressão.

$0 - 28 \sin (- π)$

Etapa 20.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$0 - 28 \sin (0)$

Etapa 20.1.7

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$0 - 28 \cdot 0$

Etapa 20.1.8

Multiplique $- 28$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 20.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 21

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Etapa 21.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - \frac{π}{2})$ na primeira derivada $- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = - 14 \sin (- 4) + 14 \cos (2 (- 4))$

Etapa 21.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.2.2.1.1

Avalie $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 14 \cdot 0.75680249 + 14 \cos (2 (- 4))$

Etapa 21.2.2.1.2

Multiplique $- 14$ por $0.75680249$ .

$f' (- 4) = - 10.59523493 + 14 \cos (2 (- 4))$

Etapa 21.2.2.1.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = - 10.59523493 + 14 \cos (- 8)$

Etapa 21.2.2.1.4

Avalie $\cos (- 8)$ .

$f' (- 4) = - 10.59523493 + 14 \cdot - 0.14550003$

Etapa 21.2.2.1.5

Multiplique $14$ por $- 0.14550003$ .

$f' (- 4) = - 10.59523493 - 2.03700047$

Etapa 21.2.2.2

Subtraia $2.03700047$ de $- 10.59523493$ .

$f' (- 4) = - 12.6322354$

Etapa 21.2.2.3

A resposta final é $- 12.6322354$ .

$- 12.6322354$

Etapa 21.3

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{6})$ na primeira derivada $- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = - 14 \sin (0) + 14 \cos (2 (0))$

Etapa 21.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.3.2.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f' (0) = - 14 \cdot 0 + 14 \cos (2 (0))$

Etapa 21.3.2.1.2

Multiplique $- 14$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 14 \cos (2 (0))$

Etapa 21.3.2.1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 14 \cos (0)$

Etapa 21.3.2.1.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f' (0) = 0 + 14 \cdot 1$

Etapa 21.3.2.1.5

Multiplique $14$ por $1$ .

$f' (0) = 0 + 14$

Etapa 21.3.2.2

Some $0$ e $14$ .

$f' (0) = 14$

Etapa 21.3.2.3

A resposta final é $14$ .

$14$

Etapa 21.4

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$ na primeira derivada $- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.4.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = - 14 \sin (2) + 14 \cos (2 (2))$

Etapa 21.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.4.2.1.1

Avalie $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 14 \cdot 0.90929742 + 14 \cos (2 (2))$

Etapa 21.4.2.1.2

Multiplique $- 14$ por $0.90929742$ .

$f' (2) = - 12.73016397 + 14 \cos (2 (2))$

Etapa 21.4.2.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (2) = - 12.73016397 + 14 \cos (4)$

Etapa 21.4.2.1.4

Avalie $\cos (4)$ .

$f' (2) = - 12.73016397 + 14 \cdot - 0.65364362$

Etapa 21.4.2.1.5

Multiplique $14$ por $- 0.65364362$ .

$f' (2) = - 12.73016397 - 9.15101069$

Etapa 21.4.2.2

Subtraia $9.15101069$ de $- 12.73016397$ .

$f' (2) = - 21.88117466$

Etapa 21.4.2.3

A resposta final é $- 21.88117466$ .

$- 21.88117466$

Etapa 21.5

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ na primeira derivada $- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.5.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = - 14 \sin (4) + 14 \cos (2 (4))$

Etapa 21.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.5.2.1.1

Avalie $\sin (4)$ .

$f' (4) = - 14 \cdot - 0.75680249 + 14 \cos (2 (4))$

Etapa 21.5.2.1.2

Multiplique $- 14$ por $- 0.75680249$ .

$f' (4) = 10.59523493 + 14 \cos (2 (4))$

Etapa 21.5.2.1.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$f' (4) = 10.59523493 + 14 \cos (8)$

Etapa 21.5.2.1.4

Avalie $\cos (8)$ .

$f' (4) = 10.59523493 + 14 \cdot - 0.14550003$

Etapa 21.5.2.1.5

Multiplique $14$ por $- 0.14550003$ .

$f' (4) = 10.59523493 - 2.03700047$

Etapa 21.5.2.2

Subtraia $2.03700047$ de $10.59523493$ .

$f' (4) = 8.55823446$

Etapa 21.5.2.3

A resposta final é $8.55823446$ .

$8.55823446$

Etapa 21.6

Substitua qualquer número, como $7$ , do intervalo $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ na primeira derivada $- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.6.1

Substitua a variável $x$ por $7$ na expressão.

$f' (7) = - 14 \sin (7) + 14 \cos (2 (7))$

Etapa 21.6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.6.2.1.1

Avalie $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 14 \cdot 0.65698659 + 14 \cos (2 (7))$

Etapa 21.6.2.1.2

Multiplique $- 14$ por $0.65698659$ .

$f' (7) = - 9.19781238 + 14 \cos (2 (7))$

Etapa 21.6.2.1.3

Multiplique $2$ por $7$ .

$f' (7) = - 9.19781238 + 14 \cos (14)$

Etapa 21.6.2.1.4

Avalie $\cos (14)$ .

$f' (7) = - 9.19781238 + 14 \cdot 0.13673721$

Etapa 21.6.2.1.5

Multiplique $14$ por $0.13673721$ .

$f' (7) = - 9.19781238 + 1.91432105$

Etapa 21.6.2.2

Some $- 9.19781238$ e $1.91432105$ .

$f' (7) = - 7.28349132$

Etapa 21.6.2.3

A resposta final é $- 7.28349132$ .

$- 7.28349132$

Etapa 21.7

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = - \frac{π}{2}$ , então $x = - \frac{π}{2}$ é um mínimo local.

$x = - \frac{π}{2}$ é um mínimo local

Etapa 21.8

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = \frac{π}{6}$ , então $x = \frac{π}{6}$ é um máximo local.

$x = \frac{π}{6}$ é um máximo local

Etapa 21.9

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{5 π}{6}$ , então $x = \frac{5 π}{6}$ é um mínimo local.

$x = \frac{5 π}{6}$ é um mínimo local

Etapa 21.10

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = \frac{3 π}{2}$ , então $x = \frac{3 π}{2}$ é um máximo local.

$x = \frac{3 π}{2}$ é um máximo local

Etapa 21.11

Esses são os extremos locais para $f (x) = 14 \cos (x) + 7 \sin (2 x)$ .

$x = - \frac{π}{2}$ é um mínimo local

$x = \frac{π}{6}$ é um máximo local

$x = \frac{5 π}{6}$ é um mínimo local

$x = \frac{3 π}{2}$ é um máximo local

$x = - \frac{π}{2}$ é um mínimo local

$x = \frac{π}{6}$ é um máximo local

$x = \frac{5 π}{6}$ é um mínimo local

$x = \frac{3 π}{2}$ é um máximo local

Etapa 22