Cálculo Exemplos

$2 x - 4 \sin (x)$

Etapa 1

Escreva $2 x - 4 \sin (x)$ como uma função.

$f (x) = 2 x - 4 \sin (x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 4 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 - 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 - 4 \cos (x)$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - 4 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- 4 \cos (x))$

Etapa 3.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 4 \cos (x))$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 \cos (x)]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 \cos (x)$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \frac{d}{d x} \cos (x)$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- \sin (x))$

Etapa 3.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (x) = 0 + 4 \sin (x)$

Etapa 3.3

Some $0$ e $4 \sin (x)$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x)$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$2 - 4 \cos (x) = 0$

Etapa 5

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- 4 \cos (x) = - 2$

Etapa 6

Divida cada termo em $- 4 \cos (x) = - 2$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $- 4 \cos (x) = - 2$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2}{- 4}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $- 4$ .

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Etapa 6.3.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 (1)}{- 4}$

Etapa 6.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.1.2.1

Fatore $- 2$ de $- 4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

Etapa 6.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\cos (x) = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

Etapa 6.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 7

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Etapa 8

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.1

O valor exato de $\arccos (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 9

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 10

Simplifique $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 10.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 10.2

Combine frações.

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Etapa 10.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 10.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 10.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 10.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 11

A solução para a equação $x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4 \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 13.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 13.2.3

Reescreva a expressão.

$2 \sqrt{3}$

Etapa 14

$x = \frac{π}{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{3}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{3}$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{π}{3}) - 4 \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.1

Combine $2$ e $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 π}{3} - 4 \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 15.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 π}{3} - 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 15.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.2.1.3.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 (- 2) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 15.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 \cdot (- 2 \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 15.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 π}{3} - 2 \sqrt{3}$

Etapa 15.2.2

A resposta final é $\frac{2 π}{3} - 2 \sqrt{3}$ .

$y = \frac{2 π}{3} - 2 \sqrt{3}$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{5 π}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4 \sin (\frac{5 π}{3})$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 17.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 17.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 17.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 17.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 17.3.2

Fatore $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 17.3.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 17.3.4

Reescreva a expressão.

$2 (- \sqrt{3})$

Etapa 17.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sqrt{3}$

Etapa 18

$x = \frac{5 π}{3}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{5 π}{3}$ é um máximo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = \frac{5 π}{3}$ .

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Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5 π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 (\frac{5 π}{3}) - 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 19.2.1.1

Multiplique $2 (\frac{5 π}{3})$ .

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Etapa 19.2.1.1.1

Combine $2$ e $\frac{5 π}{3}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{2 (5 π)}{3} - 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

Etapa 19.2.1.1.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{10 π}{3} - 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

Etapa 19.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{10 π}{3} - 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 19.2.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{10 π}{3} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 19.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 19.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{10 π}{3} - 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 19.2.1.4.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{10 π}{3} + 2 (- 2) (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Etapa 19.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{10 π}{3} + 2 \cdot (- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2})$

Etapa 19.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{10 π}{3} - 2 (- \sqrt{3})$

Etapa 19.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{10 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Etapa 19.2.2

A resposta final é $\frac{10 π}{3} + 2 \sqrt{3}$ .

$y = \frac{10 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 x - 4 \sin (x)$ .

$(\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3} - 2 \sqrt{3})$ é um mínimo local

$(\frac{5 π}{3}, \frac{10 π}{3} + 2 \sqrt{3})$ é um máximo local

Etapa 21