Cálculo Exemplos

$e^{x} - 2 x$

Etapa 1

Escreva $e^{x} - 2 x$ como uma função.

$f (x) = e^{x} - 2 x$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x} - 2 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$e^{x} - 2$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = e^{x} + 0$

Etapa 3.3.2

Some $e^{x}$ e $0$ .

$f'' (x) = e^{x}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$e^{x} - 2 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 5.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x} - 2 \cdot 1$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = e^{x} - 2$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $e^{x} - 2$ .

$e^{x} - 2$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $e^{x} - 2 = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

Etapa 6.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$e^{x} = 2$

Etapa 6.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Etapa 6.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 6.4.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Etapa 6.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Etapa 6.4.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (2)$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = \ln (2)$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = \ln (2)$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$e^{\ln (2)}$

Etapa 10

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$2$

Etapa 11

$x = \ln (2)$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \ln (2)$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = \ln (2)$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $\ln (2)$ na expressão.

$f (\ln (2)) = e^{\ln (2)} - 2 \ln (2)$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.2.1.1

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln (2)) = 2 - 2 \ln (2)$

Etapa 12.2.1.2

Simplifique $- 2 \ln (2)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f (\ln (2)) = 2 - \ln (2^{2})$

Etapa 12.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\ln (2)) = 2 - \ln (4)$

Etapa 12.2.2

A resposta final é $2 - \ln (4)$ .

$y = 2 - \ln (4)$

Etapa 13

Esses são os extremos locais para $f (x) = e^{x} - 2 x$ .

$(\ln (2), 2 - \ln (4))$ é um mínimo local

Etapa 14