Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{x + 2}$ , $[1, 4]$

Etapa 1

Se $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$ , então pelo menos um número real $c$ existirá no intervalo $(a, b)$ , de modo que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em $x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Se $f (x)$ for contínuo em $[a, b]$

e se $f (x)$ for diferenciável em $(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto, $c$ em $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 2

Verifique se $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ é contínua.

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Etapa 2.1

Para saber se a função é contínua em $[1, 4]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ .

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Etapa 2.1.1

Defina o denominador em $\frac{x}{x + 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 2 = 0$

Etapa 2.1.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq - 2}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq - 2}$

Etapa 2.2

$f (x)$ é contínuo em $[1, 4]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 3.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.2

Diferencie.

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Etapa 3.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique $x + 2$ por $1$ .

$\frac{x + 2 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{x + 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x + 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x + 2 - x (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.6

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.1.2.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x + 2 - x \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + 2 - x}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.6.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{0 + 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.6.4

Some $0$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4

Determine se a derivada é contínua em $(1, 4)$ .

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Etapa 4.1

Para saber se a função é contínua em $(1, 4)$ ou não, encontre o domínio de $f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

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Etapa 4.1.1

Defina o denominador em $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 2)}^{2} = 0$

Etapa 4.1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1.2.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 4.1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq - 2}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq - 2}$

Etapa 4.2

$f' (x)$ é contínuo em $(1, 4)$ .

A função é contínua.

Etapa 5

A função é diferenciável em $(1, 4)$ , porque a derivada é contínua em $(1, 4)$ .

A função é diferenciável.

Etapa 6

$f (x)$ satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em $[1, 4]$ e diferenciável em $(1, 4)$ .

$f (x)$ é contínuo em $[1, 4]$ e diferenciável em $(1, 4)$ .

Etapa 7

Avalie $f (a)$ a partir do intervalo $[1, 4]$ .

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{1}{(1) + 2}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Some $1$ e $2$ .

$f (1) = \frac{1}{3}$

Etapa 7.2.2

A resposta final é $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Etapa 8

Avalie $f (b)$ a partir do intervalo $[1, 4]$ .

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = \frac{4}{(4) + 2}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $4$ e $(4) + 2$ .

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Etapa 8.2.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{4 + 2}$

Etapa 8.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 (2) + 2}$

Etapa 8.2.1.2.2

Fatore $2$ de $2$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2 + 2 \cdot 1}$

Etapa 8.2.1.2.3

Fatore $2$ de $2 \cdot 2 + 2 \cdot 1$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (2 + 1)}$

Etapa 8.2.1.2.4

Cancele o fator comum.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (2 + 1)}$

Etapa 8.2.1.2.5

Reescreva a expressão.

$f (4) = \frac{2}{2 + 1}$

Etapa 8.2.2

Some $2$ e $1$ .

$f (4) = \frac{2}{3}$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Etapa 9

Resolva $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ para $x$ . $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (4) + f (1))}{- (4 + 1)}$ .

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Etapa 9.1

Fatore cada termo.

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Etapa 9.1.1

Multiplique $- 1$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}}{(4) - (1)}$

Etapa 9.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{2 - 1}{3}}{(4) - (1)}$

Etapa 9.1.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{(4) - (1)}$

Etapa 9.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{4 - 1}$

Etapa 9.1.5

Subtraia $1$ de $4$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{3}$

Etapa 9.1.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 9.1.7

Multiplique $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 9.1.7.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3 \cdot 3}$

Etapa 9.1.7.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$

Etapa 9.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 9.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

${(x + 2)}^{2}, 9$

Etapa 9.2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 9.2.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 9.2.4

$9$ tem fatores de $3$ e $3$ .

$3 \cdot 3$

Etapa 9.2.5

Multiplique $3$ por $3$ .

$9$

Etapa 9.2.6

Os fatores de $x + 2$ são $(x + 2) \cdot (x + 2)$ , que é $x + 2$ multiplicado por si mesmo por $2$ vezes.

$(x + 2) = (x + 2) \cdot (x + 2)$

$(x + 2)$ ocorre $2$ vezes.

Etapa 9.2.7

O MMC de ${(x + 2)}^{2}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

${(x + 2)}^{2}$

Etapa 9.2.8

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$9 {(x + 2)}^{2}$

Etapa 9.3

Multiplique cada termo em $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$ por $9 {(x + 2)}^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 9.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$ por $9 {(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} (9 {(x + 2)}^{2}) = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Etapa 9.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$9 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Etapa 9.3.2.2

Multiplique $9 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

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Etapa 9.3.2.2.1

Combine $9$ e $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{9 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Etapa 9.3.2.2.2

Multiplique $9$ por $2$ .

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Etapa 9.3.2.3

Cancele o fator comum de ${(x + 2)}^{2}$ .

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Etapa 9.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Etapa 9.3.2.3.2

Reescreva a expressão.

$18 = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Etapa 9.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.3.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 9.3.3.1.1

Fatore $9$ de $9 {(x + 2)}^{2}$ .

$18 = \frac{1}{9} (9 ({(x + 2)}^{2}))$

Etapa 9.3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$18 = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Etapa 9.3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$18 = {(x + 2)}^{2}$

Etapa 9.4

Resolva a equação.

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Etapa 9.4.1

Reescreva a equação como ${(x + 2)}^{2} = 18$ .

${(x + 2)}^{2} = 18$

Etapa 9.4.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x + 2 = \pm \sqrt{18}$

Etapa 9.4.3

Simplifique $\pm \sqrt{18}$ .

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Etapa 9.4.3.1

Reescreva $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 9.4.3.1.1

Fatore $9$ de $18$ .

$x + 2 = \pm \sqrt{9 (2)}$

Etapa 9.4.3.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x + 2 = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Etapa 9.4.3.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x + 2 = \pm 3 \sqrt{2}$

Etapa 9.4.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 9.4.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x + 2 = 3 \sqrt{2}$

Etapa 9.4.4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = 3 \sqrt{2} - 2$

Etapa 9.4.4.3

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x + 2 = - 3 \sqrt{2}$

Etapa 9.4.4.4

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 3 \sqrt{2} - 2$

Etapa 9.4.4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3 \sqrt{2} - 2, - 3 \sqrt{2} - 2$

Etapa 10

Existe uma reta tangente em $x = 3 \sqrt{2} - 2$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = 1$ e $b = 4$

Etapa 11

Existe uma reta tangente em $x = - 3 \sqrt{2} - 2$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = 1$ e $b = 4$

Etapa 12