Cálculo Exemplos

$y = \ln (9 + \ln (x))$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 9 + \ln (x)$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $9 + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $9 + \ln (x)$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 + \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 1.2.2

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 1.4

Multiplique $\frac{1}{9 + \ln (x)}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{(9 + \ln (x)) x}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{9 x + \ln (x) x}$

Etapa 1.5.2

Reordene os termos.

$\frac{1}{x \ln (x) + 9 x}$

Etapa 1.5.3

Fatore $x$ de $x \ln (x) + 9 x$ .

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Etapa 1.5.3.1

Fatore $x$ de $x \ln (x)$ .

$\frac{1}{x (\ln (x)) + 9 x}$

Etapa 1.5.3.2

Fatore $x$ de $9 x$ .

$\frac{1}{x (\ln (x)) + x \cdot 9}$

Etapa 1.5.3.3

Fatore $x$ de $x (\ln (x)) + x \cdot 9$ .

$f' (x) = \frac{1}{x (\ln (x) + 9)}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Reescreva $\frac{1}{x (\ln (x) + 9)}$ como ${(x (\ln (x) + 9))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x (\ln (x) + 9))}^{- 1}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x (\ln (x) + 9)$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x (\ln (x) + 9)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x (\ln (x) + 9)$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x) + 9$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x) + 9] + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln (x) + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [9]) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.5

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [9]) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.6

Diferencie.

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Etapa 2.6.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{1}{x} + 0) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.6.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.6.2.1

Some $\frac{1}{x}$ e $0$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x \frac{1}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.6.2.2

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (\frac{x}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.6.2.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.6.2.3.1

Cancele o fator comum.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (\frac{x}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.6.2.3.2

Reescreva a expressão.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + (\ln (x) + 9) \cdot 1)$

Etapa 2.6.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.4.1

Multiplique $\ln (x) + 9$ por $1$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + \ln (x) + 9)$

Etapa 2.6.4.2

Some $1$ e $9$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (10 + \ln (x))$

Etapa 2.7

Simplifique.

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Etapa 2.7.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x (\ln (x) + 9))}^{2}} (10 + \ln (x))$

Etapa 2.7.2

Aplique a regra do produto a $x (\ln (x) + 9)$ .

$- \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}} (10 + \ln (x))$

Etapa 2.7.3

Reordene os fatores de $- \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}} (10 + \ln (x))$ .

$- (10 + \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Etapa 2.7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$(- 1 \cdot 10 - \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Etapa 2.7.5

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$(- 10 - \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Etapa 2.7.6

Multiplique $- 10 - \ln (x)$ por $\frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 10 - \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Etapa 2.7.7

Fatore $- 1$ de $- 10 - \ln (x)$ .

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Etapa 2.7.7.1

Reescreva $- 10$ como $- 1 (10)$ .

$\frac{- 1 (10) - \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Etapa 2.7.7.2

Fatore $- 1$ de $- \ln (x)$ .

$\frac{- 1 (10) - (\ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Etapa 2.7.7.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (10) - (\ln (x))$ .

$\frac{- 1 (10 + \ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Etapa 2.7.7.4

Reescreva $- 1 (10 + \ln (x))$ como $- (10 + \ln (x))$ .

$\frac{- (10 + \ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Etapa 2.7.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{10 + \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$