Cálculo Exemplos

$y = 8 x \sin (x^{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x \sin (x^{2})$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$8 (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$8 (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$8 (x (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8 (x (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$8 (x^{1} x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$8 (x^{1} x^{1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 (x^{1 + 1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.8.1

Some $1$ e $1$ .

$8 (x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.8.2

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (x^{2})$ .

$8 (x^{2} (2 \cdot \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \cdot 1)$

Etapa 1.10

Multiplique $\sin (x^{2})$ por $1$ .

$8 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}))$

Etapa 1.11

Simplifique.

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Etapa 1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 (x^{2} (2 \cos (x^{2}))) + 8 \sin (x^{2})$

Etapa 1.11.2

Multiplique $2$ por $8$ .

$f' (x) = 16 x^{2} \cos (x^{2}) + 8 \sin (x^{2})$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 x^{2} \cos (x^{2}) + 8 \sin (x^{2})$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16 x^{2} \cos (x^{2})] + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} \cos (x^{2})] + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [16 x^{2} \cos (x^{2})]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x^{2} \cos (x^{2})$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{2})]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{2})] + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$16 (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})] + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$16 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Etapa 2.2.3.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$16 (x^{2} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$16 (x^{2} (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$16 (x^{2} (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$16 (x^{2} (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Etapa 2.2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$16 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Etapa 2.2.7

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.7.1

Mova $x$ .

$16 (x \cdot x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Etapa 2.2.7.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.2.7.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$16 (x^{1} x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Etapa 2.2.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16 (x^{1 + 2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Etapa 2.2.7.3

Some $1$ e $2$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 \sin (x^{2})$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 8 \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{2}$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 8 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 8 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2}$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 8 (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 8 (\cos (x^{2}) (2 x))$

Etapa 2.3.4

Multiplique $2$ por $8$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 16 \cos (x^{2}) x$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2}))) + 16 (\cos (x^{2}) (2 x)) + 16 \cos (x^{2}) x$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Multiplique $- 2$ por $16$ .

$- 32 (x^{3} (\sin (x^{2}))) + 16 (\cos (x^{2}) (2 x)) + 16 \cos (x^{2}) x$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$- 32 x^{3} \sin (x^{2}) + 32 (\cos (x^{2}) (x)) + 16 \cos (x^{2}) x$

Etapa 2.4.2.3

Some $32 \cos (x^{2}) x$ e $16 \cos (x^{2}) x$ .

$- 32 x^{3} \sin (x^{2}) + 48 \cos (x^{2}) x$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = - 32 x^{3} \sin (x^{2}) + 48 x \cos (x^{2})$