Cálculo Exemplos

$y = \cot (x) + 3 x^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cot (x) + 3 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \csc^{2} (x) + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \csc^{2} (x) + 3 (2 x)$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \csc^{2} (x) + 6 x$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = 6 x - \csc^{2} (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x - \csc^{2} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \csc^{2} (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ .

$6 - \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \csc (x)$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\csc (x)$ .

$6 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 - (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\csc (x)$ .

$6 - (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 2.3.3

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$6 - (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$6 - (- 2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Etapa 2.3.5

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$6 - (- 2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x))$

Etapa 2.3.6

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$6 - (- 2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x))$

Etapa 2.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 - (- 2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x))$

Etapa 2.3.8

Some $1$ e $1$ .

$6 - (- 2 \csc^{2} (x) \cot (x))$

Etapa 2.3.9

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$6 + 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (x) \cot (x) + 6$