Cálculo Exemplos

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{7^{n}}{4^{n + 3}}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica infinita pode ser encontrada pela fórmula $\frac{a}{1 - r}$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e simplificando.

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Etapa 2.1

Substitua $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{\frac{7^{n + 1}}{4^{n + 1 + 3}}}{\frac{7^{n}}{4^{n + 3}}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$r = \frac{7^{n + 1}}{4^{n + 1 + 3}} \cdot \frac{4^{n + 3}}{7^{n}}$

Etapa 2.2.2

Combine.

$r = \frac{7^{n + 1} \cdot 4^{n + 3}}{4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}}$

Etapa 2.2.3

Cancele o fator comum de $7^{n + 1}$ e $7^{n}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Fatore $7^{n}$ de $7^{n + 1} \cdot 4^{n + 3}$ .

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}}$

Etapa 2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.3.2.1

Fatore $7^{n}$ de $4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}$ .

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{7^{n} \cdot 4^{n + 1 + 3}}$

Etapa 2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{7^{n} \cdot 4^{n + 1 + 3}}$

Etapa 2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{7 \cdot 4^{n + 3}}{4^{n + 1 + 3}}$

Etapa 2.2.4

Cancele o fator comum de $4^{n + 3}$ e $4^{n + 1 + 3}$ .

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Etapa 2.2.4.1

Fatore $4^{n + 1 + 3}$ de $7 \cdot 4^{n + 3}$ .

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3}}$

Etapa 2.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.4.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 1}$

Etapa 2.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 1}$

Etapa 2.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}}{1}$

Etapa 2.2.4.2.4

Divida $7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}$ por $1$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}$

Etapa 2.2.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.5.1

Some $1$ e $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 4)}$

Etapa 2.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - n - 1 \cdot 4}$

Etapa 2.2.5.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - n - 4}$

Etapa 2.2.6

Combine os termos opostos em $n + 3 - n - 4$ .

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Etapa 2.2.6.1

Subtraia $n$ de $n$ .

$r = 7 \cdot 4^{0 + 3 - 4}$

Etapa 2.2.6.2

Some $0$ e $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{3 - 4}$

Etapa 2.2.7

Subtraia $4$ de $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{- 1}$

Etapa 2.2.8

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = 7 \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 2.2.9

Combine $7$ e $\frac{1}{4}$ .

$r = \frac{7}{4}$

Etapa 3

Check if the series is convergent or divergent.

Since $| r | \geq 1$ , the series diverges.