Cálculo Exemplos

$1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Etapa 1.1.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$0 - \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$0 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

$0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Etapa 1.1.2.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.6.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Etapa 1.1.2.6.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 2$ .

$0 - (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.6.2.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$0 - (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.8

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.10.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.12

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.13

Combine $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$0 - - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.14

Multiplique $x^{- \frac{1}{3}}$ por $x^{- \frac{4}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.2.14.1

Mova $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$0 - - \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.14.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$0 - - \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.14.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 - - \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.14.4

Subtraia $1$ de $- 4$ .

$0 - - \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.14.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 - - \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.15

Mova $x^{- \frac{5}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - - \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.16

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.17

Multiplique $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ por $1$ .

$0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.18

Multiplique $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ por $0$ .

$0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + 0$

Etapa 1.1.2.19

Some $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ e $0$ .

$0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 1.1.3

Some $0$ e $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 2.3

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{5}}}$

Etapa 3.2

Defina o denominador em $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{5}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{x^{5}} = 0$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{x^{5}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{5}}$ como $x^{\frac{5}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{5}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Simplifique ${(3 x^{\frac{5}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 x^{\frac{5}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{5}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {(x^{\frac{5}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{5}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{5}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$27 x^{\frac{5}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$27 x^{5} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$27 x^{5} = 0$

Etapa 3.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $27 x^{5} = 0$ por $27$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Divida cada termo em $27 x^{5} = 0$ por $27$ .

$\frac{27 x^{5}}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 3.3.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{27 x^{5}}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 3.3.3.1.2.1.2

Divida $x^{5}$ por $1$ .

$x^{5} = \frac{0}{27}$

Etapa 3.3.3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1.3.1

Divida $0$ por $27$ .

$x^{5} = 0$

Etapa 3.3.3.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[5]{0}$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique $\sqrt[5]{0}$ .

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Etapa 3.3.3.3.1

Reescreva $0$ como $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Etapa 3.3.3.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 4

Avalie $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$1 - \frac{1}{{(0)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$1 - \frac{1}{{(0^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - \frac{1}{0^{3 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 4.1.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$1 - \frac{1}{0^{3 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 4.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 - \frac{1}{0^{2}}$

Etapa 4.1.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$1 - \frac{1}{0}$

Etapa 4.1.2.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 5

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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