Cálculo Exemplos

$- \frac{18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- 18 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}]$ .

$- 18 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{2}$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 1.1.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.1.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique ${(x^{2} - 9)}^{2}$ por $1$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Etapa 1.1.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 9$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 9$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.1.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2

Fatore $x^{2} - 9$ de ${(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ .

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Etapa 1.1.5.2.1

Fatore $x^{2} - 9$ de ${(x^{2} - 9)}^{2}$ .

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.2

Fatore $x^{2} - 9$ de $- 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ .

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.3

Fatore $x^{2} - 9$ de $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))$ .

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Fatore $x^{2} - 9$ de ${(x^{2} - 9)}^{4}$ .

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.6.2

Cancele o fator comum.

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.6.3

Reescreva a expressão.

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.9

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.10.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.14

Some $1$ e $1$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.15

Subtraia $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 18 \frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.16

Combine $- 18$ e $\frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ .

$\frac{- 18 (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{18 (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.18

Simplifique.

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Etapa 1.1.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{18 (- 3 x^{2}) + 18 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.18.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.18.2.1

Multiplique $- 3$ por $18$ .

$- \frac{- 54 x^{2} + 18 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.18.2.2

Multiplique $18$ por $- 9$ .

$f' (x) = - \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ .

$- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$- 54 x^{2} - 162 = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Some $162$ aos dois lados da equação.

$- 54 x^{2} = 162$

Etapa 2.3.2

Divida cada termo em $- 54 x^{2} = 162$ por $- 54$ e simplifique.

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Etapa 2.3.2.1

Divida cada termo em $- 54 x^{2} = 162$ por $- 54$ .

$\frac{- 54 x^{2}}{- 54} = \frac{162}{- 54}$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 54$ .

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Etapa 2.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 54 x^{2}}{- 54} = \frac{162}{- 54}$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{162}{- 54}$

Etapa 2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.2.3.1

Divida $162$ por $- 54$ .

$x^{2} = - 3$

Etapa 2.3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Etapa 2.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Etapa 2.3.4.1

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Etapa 2.3.4.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Etapa 2.3.4.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Etapa 2.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{3}$

Etapa 2.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{3}$

Etapa 2.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x^{2} - 9)}^{3} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

${(x^{2} - 3^{2})}^{3} = 0$

Etapa 3.2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

${((x + 3) (x - 3))}^{3} = 0$

Etapa 3.2.1.3

Aplique a regra do produto a $(x + 3) (x - 3)$ .

${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3} = 0$

Etapa 3.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

${(x - 3)}^{3} = 0$

Etapa 3.2.3

Defina ${(x + 3)}^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.2.3.1

Defina ${(x + 3)}^{3}$ como igual a $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

Etapa 3.2.3.2

Resolva ${(x + 3)}^{3} = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.3.2.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 3.2.3.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 3.2.4

Defina ${(x - 3)}^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.2.4.1

Defina ${(x - 3)}^{3}$ como igual a $0$ .

${(x - 3)}^{3} = 0$

Etapa 3.2.4.2

Resolva ${(x - 3)}^{3} = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.4.2.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 3.2.4.2.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 3.2.5

A solução final são todos os valores que tornam ${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3} = 0$ verdadeiro.

$x = - 3, 3$

Etapa 3.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 3, x = 3$

Etapa 4

Avalie $- \frac{18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = - 3$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $- 3$ por $x$ .

$- \frac{18 (- 3)}{{({(- 3)}^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$- \frac{18 (- 3)}{{(9 - 9)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $9$ de $9$ .

$- \frac{18 (- 3)}{0^{2}}$

Etapa 4.1.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{18 (- 3)}{0}$

Etapa 4.1.2.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.2

Avalie em $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $3$ por $x$ .

$- \frac{18 (3)}{{({(3)}^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- \frac{18 (3)}{{(9 - 9)}^{2}}$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $9$ de $9$ .

$- \frac{18 (3)}{0^{2}}$

Etapa 4.2.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{18 (3)}{0}$

Etapa 4.2.2.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 5

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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