Cálculo Exemplos

$3 x^{4} - 20 x^{3} + 42 x^{2} - 36 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} - 20 x^{3} + 42 x^{2} - 36 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 20 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$12 x^{3} - 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 20$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [42 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.4.1

Como $42$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $42 x^{2}$ em relação a $x$ é $42 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 42 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 42 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $2$ por $42$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

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Etapa 1.1.5.1

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36 x$ em relação a $x$ é $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36 \cdot 1$

Etapa 1.1.5.3

Multiplique $- 36$ por $1$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $12$ de $12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $12$ de $12 x^{3}$ .

$12 (x^{3}) - 60 x^{2} + 84 x - 36 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $12$ de $- 60 x^{2}$ .

$12 (x^{3}) + 12 (- 5 x^{2}) + 84 x - 36 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $12$ de $84 x$ .

$12 (x^{3}) + 12 (- 5 x^{2}) + 12 (7 x) - 36 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $12$ de $- 36$ .

$12 x^{3} + 12 (- 5 x^{2}) + 12 (7 x) + 12 \cdot - 3 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $12$ de $12 x^{3} + 12 (- 5 x^{2})$ .

$12 (x^{3} - 5 x^{2}) + 12 (7 x) + 12 \cdot - 3 = 0$

Etapa 2.2.1.6

Fatore $12$ de $12 (x^{3} - 5 x^{2}) + 12 (7 x)$ .

$12 (x^{3} - 5 x^{2} + 7 x) + 12 \cdot - 3 = 0$

Etapa 2.2.1.7

Fatore $12$ de $12 (x^{3} - 5 x^{2} + 7 x) + 12 \cdot - 3$ .

$12 (x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.2.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Etapa 2.2.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 3$

Etapa 2.2.2.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.2.2.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{3} - 5 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 3$

Etapa 2.2.2.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$1 - 5 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 3$

Etapa 2.2.2.3.3

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$1 - 5 \cdot 1 + 7 \cdot 1 - 3$

Etapa 2.2.2.3.4

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$1 - 5 + 7 \cdot 1 - 3$

Etapa 2.2.2.3.5

Subtraia $5$ de $1$ .

$- 4 + 7 \cdot 1 - 3$

Etapa 2.2.2.3.6

Multiplique $7$ por $1$ .

$- 4 + 7 - 3$

Etapa 2.2.2.3.7

Some $- 4$ e $7$ .

$3 - 3$

Etapa 2.2.2.3.8

Subtraia $3$ de $3$ .

$0$

Etapa 2.2.2.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3}{x - 1}$

Etapa 2.2.2.5

Divida $x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3$ por $x - 1$ .

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Etapa 2.2.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$7 x$

$3$

Etapa 2.2.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$

Etapa 2.2.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 2.2.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 2.2.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Etapa 2.2.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$

Etapa 2.2.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$

Etapa 2.2.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Etapa 2.2.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 x^{2} + 4 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Etapa 2.2.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$3 x$

Etapa 2.2.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$3 x$	-	$3$

Etapa 2.2.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$3 x$	-	$3$

Etapa 2.2.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$3 x$	-	$3$
							+	$3 x$	-	$3$

Etapa 2.2.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x - 3$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	+	$3$

Etapa 2.2.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	+	$3$
										$0$

Etapa 2.2.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 4 x + 3$

Etapa 2.2.2.6

Escreva $x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3$ como um conjunto de fatores.

$12 ((x - 1) (x^{2} - 4 x + 3)) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore.

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Etapa 2.2.3.1

Fatore $x^{2} - 4 x + 3$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.1

Fatore $x^{2} - 4 x + 3$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.3.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $3$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 3, - 1$

Etapa 2.2.3.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$12 ((x - 1) ((x - 3) (x - 1))) = 0$

Etapa 2.2.3.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$12 ((x - 1) (x - 3) (x - 1)) = 0$

Etapa 2.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$12 (x - 1) (x - 3) (x - 1) = 0$

Etapa 2.2.4

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$12 ((x - 1) (x - 1)) (x - 3) = 0$

Etapa 2.2.4.2

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$12 ((x - 1) (x - 1)) (x - 3) = 0$

Etapa 2.2.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 {(x - 1)}^{1 + 1} (x - 3) = 0$

Etapa 2.2.4.4

Some $1$ e $1$ .

$12 {(x - 1)}^{2} (x - 3) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 2.4

Defina ${(x - 1)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina ${(x - 1)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva ${(x - 1)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.4.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $12 {(x - 1)}^{2} (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, 3$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $3 x^{4} - 20 x^{3} + 42 x^{2} - 36 x$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$3 {(1)}^{4} - 20 {(1)}^{3} + 42 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 \cdot 1 - 20 {(1)}^{3} + 42 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 - 20 {(1)}^{3} + 42 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1$

Etapa 4.1.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 - 20 \cdot 1 + 42 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $- 20$ por $1$ .

$3 - 20 + 42 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1$

Etapa 4.1.2.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 - 20 + 42 \cdot 1 - 36 \cdot 1$

Etapa 4.1.2.1.6

Multiplique $42$ por $1$ .

$3 - 20 + 42 - 36 \cdot 1$

Etapa 4.1.2.1.7

Multiplique $- 36$ por $1$ .

$3 - 20 + 42 - 36$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Subtraia $20$ de $3$ .

$- 17 + 42 - 36$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $- 17$ e $42$ .

$25 - 36$

Etapa 4.1.2.2.3

Subtraia $36$ de $25$ .

$- 11$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $3$ por $x$ .

$3 {(3)}^{4} - 20 {(3)}^{3} + 42 {(3)}^{2} - 36 \cdot 3$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique $3$ por ${(3)}^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.1

Multiplique $3$ por ${(3)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$3^{1} {(3)}^{4} - 20 {(3)}^{3} + 42 {(3)}^{2} - 36 \cdot 3$

Etapa 4.2.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3^{1 + 4} - 20 {(3)}^{3} + 42 {(3)}^{2} - 36 \cdot 3$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Some $1$ e $4$ .

$3^{5} - 20 {(3)}^{3} + 42 {(3)}^{2} - 36 \cdot 3$

Etapa 4.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$243 - 20 {(3)}^{3} + 42 {(3)}^{2} - 36 \cdot 3$

Etapa 4.2.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$243 - 20 \cdot 27 + 42 {(3)}^{2} - 36 \cdot 3$

Etapa 4.2.2.1.4

Multiplique $- 20$ por $27$ .

$243 - 540 + 42 {(3)}^{2} - 36 \cdot 3$

Etapa 4.2.2.1.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$243 - 540 + 42 \cdot 9 - 36 \cdot 3$

Etapa 4.2.2.1.6

Multiplique $42$ por $9$ .

$243 - 540 + 378 - 36 \cdot 3$

Etapa 4.2.2.1.7

Multiplique $- 36$ por $3$ .

$243 - 540 + 378 - 108$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Subtraia $540$ de $243$ .

$- 297 + 378 - 108$

Etapa 4.2.2.2.2

Some $- 297$ e $378$ .

$81 - 108$

Etapa 4.2.2.2.3

Subtraia $108$ de $81$ .

$- 27$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(1, - 11), (3, - 27)$

Etapa 5