Cálculo Exemplos

$16 \sin^{2} (2 x)$

Etapa 1

Como $16$ é constante com relação a $x$ , mova $16$ para fora da integral.

$16 \int \sin^{2} (2 x) d x$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$16 \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Combine $\sin^{2} (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$16 \int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$16 (\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $16$ .

$\frac{16}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{1} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 5.2.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$8 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$8 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$8 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $8$ .

$\frac{8}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 8.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 8.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 8.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 8.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$4 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$4 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$4 (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 11

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 12

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Diferencie $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Etapa 12.1.2

Como $2$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $2 u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 12.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 12.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 12.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$4 (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Etapa 13

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$4 (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 14

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$4 (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Etapa 15

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$4 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Etapa 16

Simplifique.

$4 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Etapa 17

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$4 (2 x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Etapa 17.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 u_{1}$ .

$4 (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Etapa 17.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$4 (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 (2 x))) + C$

Etapa 18

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 (2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x)) + C$

Etapa 18.1.2

Combine $\sin (4 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$4 (2 x - \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Etapa 18.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (2 x) + 4 (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Etapa 18.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 x + 4 (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Etapa 18.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sin (4 x)}{2}$ para o numerador.

$8 x + 4 \frac{- \sin (4 x)}{2} + C$

Etapa 18.4.2

Fatore $2$ de $4$ .

$8 x + 2 (2) \frac{- \sin (4 x)}{2} + C$

Etapa 18.4.3

Cancele o fator comum.

$8 x + 2 \cdot 2 \frac{- \sin (4 x)}{2} + C$

Etapa 18.4.4

Reescreva a expressão.

$8 x + 2 (- \sin (4 x)) + C$

Etapa 18.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$8 x - 2 \sin (4 x) + C$