Cálculo Exemplos

$- (x + 1) \sin (5 x)$

Etapa 1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int (x + 1) \sin (5 x) d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x + 1$ e $d v = \sin (5 x)$ .

$- ((x + 1) (- \frac{1}{5} \cos (5 x)) - \int - \frac{1}{5} \cos (5 x) d x)$

Etapa 3

Como $- \frac{1}{5}$ é constante com relação a $x$ , mova $- \frac{1}{5}$ para fora da integral.

$- ((x + 1) (- \frac{1}{5} \cos (5 x)) - (- \frac{1}{5} \int \cos (5 x) d x))$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Combine $\cos (5 x)$ e $\frac{1}{5}$ .

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) - (- \frac{1}{5} \int \cos (5 x) d x))$

Etapa 4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + 1 (\frac{1}{5} \int \cos (5 x) d x))$

Etapa 4.3

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + \frac{1}{5} \int \cos (5 x) d x)$

Etapa 5

Deixe $u = 5 x$ . Depois, $d u = 5 d x$ , então, $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 5 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 5.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$5$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + \frac{1}{5} \int \cos (u) \frac{1}{5} d u)$

Etapa 6

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{5}$ .

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + \frac{1}{5} \int \frac{\cos (u)}{5} d u)$

Etapa 7

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int \cos (u) d u))$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{5}$ .

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + \frac{1}{5 \cdot 5} \int \cos (u) d u)$

Etapa 8.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + \frac{1}{25} \int \cos (u) d u)$

Etapa 9

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + \frac{1}{25} (\sin (u) + C))$

Etapa 10

Reescreva $- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + \frac{1}{25} (\sin (u) + C))$ como $- (- \frac{\cos (5 x) x}{5} - \frac{\cos (5 x)}{5} + \frac{\sin (u)}{25}) + C$ .

$- (- \frac{\cos (5 x) x}{5} - \frac{\cos (5 x)}{5} + \frac{\sin (u)}{25}) + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$- (- \frac{\cos (5 x) x}{5} - \frac{\cos (5 x)}{5} + \frac{\sin (5 x)}{25}) + C$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- - \frac{\cos (5 x) x}{5} - - \frac{\cos (5 x)}{5} - \frac{\sin (5 x)}{25} + C$

Etapa 12.2

Simplifique.

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Etapa 12.2.1

Multiplique $- - \frac{\cos (5 x) x}{5}$ .

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Etapa 12.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{\cos (5 x) x}{5} - - \frac{\cos (5 x)}{5} - \frac{\sin (5 x)}{25} + C$

Etapa 12.2.1.2

Multiplique $\frac{\cos (5 x) x}{5}$ por $1$ .

$\frac{\cos (5 x) x}{5} - - \frac{\cos (5 x)}{5} - \frac{\sin (5 x)}{25} + C$

Etapa 12.2.2

Multiplique $- - \frac{\cos (5 x)}{5}$ .

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Etapa 12.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\cos (5 x) x}{5} + 1 \frac{\cos (5 x)}{5} - \frac{\sin (5 x)}{25} + C$

Etapa 12.2.2.2

Multiplique $\frac{\cos (5 x)}{5}$ por $1$ .

$\frac{\cos (5 x) x}{5} + \frac{\cos (5 x)}{5} - \frac{\sin (5 x)}{25} + C$

Etapa 12.3

Reordene os fatores em $\frac{\cos (5 x) x}{5} + \frac{\cos (5 x)}{5} - \frac{\sin (5 x)}{25}$ .

$\frac{x \cos (5 x)}{5} + \frac{\cos (5 x)}{5} - \frac{\sin (5 x)}{25} + C$

Etapa 13

Reordene os termos.

$\frac{1}{5} x \cos (5 x) + \frac{1}{5} \cos (5 x) - \frac{1}{25} \sin (5 x) + C$