Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

Etapa 1

Escreva $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ como uma função.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.1.2.3

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.1.2.4

Combine $\frac{2}{2}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.1.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.1.2.5.2

Divida $x$ por $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 2.1.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x - \frac{1}{x}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.2.1

Diferencie.

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Etapa 2.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Etapa 2.2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Etapa 2.2.2.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Etapa 2.2.2.6

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Etapa 2.2.2.7

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$1 + x^{- 2} + 0$

Etapa 2.2.2.8

Some $x^{- 2}$ e $0$ .

$1 + x^{- 2}$

Etapa 2.2.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 2.2.4

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 1$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 1$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{x^{2}} = - 1$

Etapa 3.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{2}, 1$

Etapa 3.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 3.4

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Etapa 3.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = - x^{2}$

Etapa 3.5

Resolva a equação.

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $- x^{2} = 1$ .

$- x^{2} = 1$

Etapa 3.5.2

Divida cada termo em $- x^{2} = 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.5.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 3.5.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 3.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.2.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$x^{2} = - 1$

Etapa 3.5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 3.5.4

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 3.5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 3.5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 3.5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 4

Nenhum valor encontrado que possa tornar a segunda derivada igual a $0$ .

Nenhum ponto de inflexão