Cálculo Exemplos

$2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$

Etapa 1

Escreva $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ como uma função.

$f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \sin^{3} (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$2 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.1.2.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 (3 \sin^{2} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.1.2.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \sin (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.1.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ e $0$ .

$f' (x) = 6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

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Etapa 2.2.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 \sin^{2} (x) \cos (x)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin^{2} (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 2.2.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2.5

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2.6

Multiplique $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.2.6.1

Mova $\sin (x)$ .

$6 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2.6.2

Multiplique $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ .

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Etapa 2.2.2.6.2.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$6 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2.6.3

Some $1$ e $2$ .

$6 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2.7

Mova $- 1$ para a esquerda de $\sin^{3} (x)$ .

$6 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2.8

Reescreva $- 1 \sin^{3} (x)$ como $- \sin^{3} (x)$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2.9

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2.10

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2.12

Some $1$ e $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Etapa 2.2.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \cos (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.2.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x))$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

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Etapa 2.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 (- \sin^{3} (x)) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Etapa 2.2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.2.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$- 6 \sin^{3} (x) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Etapa 2.2.4.2.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$- 6 \sin^{3} (x) + 12 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \sin (x)$

Etapa 2.2.4.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = 12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Etapa 3.2

Fatore $3 \sin (x)$ de $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $3 \sin (x)$ de $12 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore $3 \sin (x)$ de $- 6 \sin^{3} (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 3 \sin (x) = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore $3 \sin (x)$ de $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Etapa 3.2.4

Fatore $3 \sin (x)$ de $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Etapa 3.2.5

Fatore $3 \sin (x)$ de $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Etapa 3.4

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.4.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 3.4.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 3.4.2.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 3.4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.4.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.4.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.4.2.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.5

Defina $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ como igual a $0$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.5.2.1

Substitua $4 \cos^{2} (x)$ por $4 (1 - \sin^{2} (x))$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \cdot 1 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Etapa 3.5.2.2.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Etapa 3.5.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$4 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Etapa 3.5.2.3

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.5.2.3.1

Subtraia $1$ de $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Etapa 3.5.2.3.2

Subtraia $2 \sin^{2} (x)$ de $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$- 6 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Etapa 3.5.2.4

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- 6 \sin^{2} (x) = - 3$

Etapa 3.5.2.5

Divida cada termo em $- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ por $- 6$ e simplifique.

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Etapa 3.5.2.5.1

Divida cada termo em $- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

Etapa 3.5.2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.5.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

Etapa 3.5.2.5.2.1.2

Divida $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 6}$

Etapa 3.5.2.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.5.3.1

Cancele o fator comum de $- 3$ e $- 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.5.3.1.1

Fatore $- 3$ de $- 3$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 (1)}{- 6}$

Etapa 3.5.2.5.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.5.2.5.3.1.2.1

Fatore $- 3$ de $- 6$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

Etapa 3.5.2.5.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

Etapa 3.5.2.5.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 3.5.2.6

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.5.2.7

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.7.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.5.2.7.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.5.2.7.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.5.2.7.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.7.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 3.5.2.7.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 3.5.2.7.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 3.5.2.7.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.5.2.7.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 3.5.2.7.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.7.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.5.2.7.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.5.2.7.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.5.2.7.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.7.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.5.2.7.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 3.5.2.7.4.6.5

Avalie o expoente.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.5.2.8

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.8.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.5.2.8.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.5.2.8.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.5.2.9

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.5.2.10

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.10.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 3.5.2.10.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.10.2.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 3.5.2.10.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{4}$

Etapa 3.5.2.10.4

Simplifique $π - \frac{π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.10.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 3.5.2.10.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.10.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 3.5.2.10.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 3.5.2.10.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.10.4.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 3.5.2.10.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 3.5.2.10.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.10.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.5.2.10.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.5.2.10.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.5.2.10.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.5.2.10.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.5.2.11

Resolva $x$ em $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 3.5.2.11.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 3.5.2.11.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.2.11.2.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ é $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 3.5.2.11.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Etapa 3.5.2.11.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 3.5.2.11.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Etapa 3.5.2.11.4.2

O ângulo resultante de $\frac{5 π}{4}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 3.5.2.11.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 3.5.2.11.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.5.2.11.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.5.2.11.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.5.2.11.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.5.2.11.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 3.5.2.11.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Etapa 3.5.2.11.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 3.5.2.11.6.3

Combine frações.

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Etapa 3.5.2.11.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 3.5.2.11.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 3.5.2.11.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.2.11.6.4.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Etapa 3.5.2.11.6.4.2

Subtraia $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Etapa 3.5.2.11.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{7 π}{4}$

Etapa 3.5.2.11.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.5.2.12

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.5.2.13

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.7

Consolide $2 π n$ e $π + 2 π n$ em $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 4.1

O ponto encontrado ao substituir em $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ é $(,)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(,)$

Etapa 4.2

Substitua $\frac{π}{4}$ em $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin^{3} (\frac{π}{4}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Etapa 4.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Etapa 4.2.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Etapa 4.2.2.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.2.1.3.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Etapa 4.2.2.1.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Etapa 4.2.2.1.3.3

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 4.2.2.1.3.3.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Etapa 4.2.2.1.3.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Etapa 4.2.2.1.3.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Etapa 4.2.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{8}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Etapa 4.2.2.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.5.1

Fatore $2$ de $8$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2 (4)}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Etapa 4.2.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Etapa 4.2.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Etapa 4.2.2.1.6

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.6.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (\sqrt{2})}{4} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Etapa 4.2.2.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.6.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Etapa 4.2.2.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Etapa 4.2.2.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Etapa 4.2.2.1.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2$

Etapa 4.2.2.1.8

Combine $3$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 2$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{\sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.2.2.2.2

Some $\sqrt{2}$ e $3 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.2.2.2.3

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.3.1

Fatore $2$ de $4 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Etapa 4.2.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Etapa 4.2.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Etapa 4.2.2.2.3.2.4

Divida $2 \sqrt{2}$ por $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.2.2.3

A resposta final é $2 + 2 \sqrt{2}$ .

$2 + 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.3

O ponto encontrado ao substituir $\frac{π}{4}$ em $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ é $(\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

Etapa 4.4

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty,) \cup (, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty,)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.1$ na expressão.

$f'' (- 0.1) = 12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$

Etapa 6.2

A resposta final é $12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$ .

$12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$

Etapa 6.3

Em $- 0.1$ , a segunda derivada é $- 0.88059055$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty,)$ .

Decréscimo em $(- \infty,)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(, \frac{π}{4})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.39269908$ na expressão.

$f'' (0.39269908) = 12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$

Etapa 7.2

A resposta final é $12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$ .

$12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$

Etapa 7.3

Em $0.39269908$ , a segunda derivada é $2.43538245$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(, \frac{π}{4})$ .

Acréscimo em $(, \frac{π}{4})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(\frac{π}{4}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $0.88539816$ na expressão.

$f'' (0.88539816) = 12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$

Etapa 8.2

A resposta final é $12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$ .

$12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$

Etapa 8.3

Em $0.88539816$ , a segunda derivada é $- 1.38422929$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(\frac{π}{4}, \infty)$ .

Decréscimo em $(\frac{π}{4}, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 9

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$ .

$(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

Etapa 10