Cálculo Exemplos

$f (x) = 7 \sqrt{2} \cos (x) + 7 \sin^{2} (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 \sqrt{2} \cos (x) + 7 \sin^{2} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 \sqrt{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{2} \cos (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $7 \sqrt{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 \sqrt{2} \cos (x)$ em relação a $x$ é $7 \sqrt{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$7 \sqrt{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$7 \sqrt{2} (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 \sin^{2} (x)$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 1.3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 (2 \sin (x) \cos (x))$

Etapa 1.3.4

Multiplique $2$ por $7$ .

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \sin (x) \cos (x)$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \cos (x) \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [14 \cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 7 \sqrt{2} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (14 \cos (x) \sin (x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{2} \sin (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 7 \sqrt{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 \sqrt{2} \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 7 \sqrt{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (14 \cos (x) \sin (x))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + \frac{d}{d x} (14 \cos (x) \sin (x))$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [14 \cos (x) \sin (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $14 \cos (x) \sin (x)$ em relação a $x$ é $14 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Etapa 2.3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Etapa 2.3.4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Etapa 2.3.5

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Etapa 2.3.6

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Etapa 2.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x)))$

Etapa 2.3.8

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Etapa 2.3.9

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Etapa 2.3.10

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Etapa 2.3.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Etapa 2.3.12

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 \cos^{2} (x) + 14 (- \sin^{2} (x))$

Etapa 2.4.2

Multiplique $- 1$ por $14$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 \cos^{2} (x) - 14 \sin^{2} (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \cos (x) \sin (x) = 0$

Etapa 4

Fatore $7 \sin (x)$ de $- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \cos (x) \sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Fatore $7 \sin (x)$ de $- 7 \sqrt{2} \sin (x)$ .

$7 \sin (x) (- \sqrt{2}) + 14 \cos (x) \sin (x) = 0$

Etapa 4.2

Fatore $7 \sin (x)$ de $14 \cos (x) \sin (x)$ .

$7 \sin (x) (- \sqrt{2}) + 7 \sin (x) (2 \cos (x)) = 0$

Etapa 4.3

Fatore $7 \sin (x)$ de $7 \sin (x) (- \sqrt{2}) + 7 \sin (x) (2 \cos (x))$ .

$7 \sin (x) (- \sqrt{2} + 2 \cos (x)) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- \sqrt{2} + 2 \cos (x) = 0$

Etapa 6

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 6.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 6.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 6.2.5

A solução para a equação $x = 0$ .

$x = 0, π$

Etapa 7

Defina $- \sqrt{2} + 2 \cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Defina $- \sqrt{2} + 2 \cos (x)$ como igual a $0$ .

$- \sqrt{2} + 2 \cos (x) = 0$

Etapa 7.2

Resolva $- \sqrt{2} + 2 \cos (x) = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Some $\sqrt{2}$ aos dois lados da equação.

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$

Etapa 7.2.2

Divida cada termo em $2 \cos (x) = \sqrt{2}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Divida cada termo em $2 \cos (x) = \sqrt{2}$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.2.2.2.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 7.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.1

O valor exato de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.6

Simplifique $2 π - \frac{π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.6.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.6.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.6.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 7.2.6.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.6.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Etapa 7.2.6.3.2

Subtraia $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Etapa 7.2.7

A solução para a equação $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $7 \sin (x) (- \sqrt{2} + 2 \cos (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, π, \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 7 \sqrt{2} \cos (0) + 14 \cos^{2} (0) - 14 \sin^{2} (0)$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 7 \sqrt{2} \cdot 1 + 14 \cos^{2} (0) - 14 \sin^{2} (0)$

Etapa 10.1.2

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$- 7 \sqrt{2} + 14 \cos^{2} (0) - 14 \sin^{2} (0)$

Etapa 10.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 7 \sqrt{2} + 14 \cdot 1^{2} - 14 \sin^{2} (0)$

Etapa 10.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 7 \sqrt{2} + 14 \cdot 1 - 14 \sin^{2} (0)$

Etapa 10.1.5

Multiplique $14$ por $1$ .

$- 7 \sqrt{2} + 14 - 14 \sin^{2} (0)$

Etapa 10.1.6

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- 7 \sqrt{2} + 14 - 14 \cdot 0^{2}$

Etapa 10.1.7

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 7 \sqrt{2} + 14 - 14 \cdot 0$

Etapa 10.1.8

Multiplique $- 14$ por $0$ .

$- 7 \sqrt{2} + 14 + 0$

Etapa 10.2

Some $- 7 \sqrt{2}$ e $0$ .

$14 - 7 \sqrt{2}$

Etapa 11

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 7 \sqrt{2} \cos (0) + 7 \sin^{2} (0)$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (0) = 7 \sqrt{2} \cdot 1 + 7 \sin^{2} (0)$

Etapa 12.2.1.2

Multiplique $7$ por $1$ .

$f (0) = 7 \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (0)$

Etapa 12.2.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f (0) = 7 \sqrt{2} + 7 \cdot 0^{2}$

Etapa 12.2.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 7 \sqrt{2} + 7 \cdot 0$

Etapa 12.2.1.5

Multiplique $7$ por $0$ .

$f (0) = 7 \sqrt{2} + 0$

Etapa 12.2.2

Some $7 \sqrt{2}$ e $0$ .

$f (0) = 7 \sqrt{2}$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $7 \sqrt{2}$ .

$y = 7 \sqrt{2}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = π$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 7 \sqrt{2} \cos (π) + 14 \cos^{2} (π) - 14 \sin^{2} (π)$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- 7 \sqrt{2} (- \cos (0)) + 14 \cos^{2} (π) - 14 \sin^{2} (π)$

Etapa 14.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 7 \sqrt{2} (- 1 \cdot 1) + 14 \cos^{2} (π) - 14 \sin^{2} (π)$

Etapa 14.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 7 \sqrt{2} \cdot - 1 + 14 \cos^{2} (π) - 14 \sin^{2} (π)$

Etapa 14.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$7 \sqrt{2} + 14 \cos^{2} (π) - 14 \sin^{2} (π)$

Etapa 14.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$7 \sqrt{2} + 14 {(- \cos (0))}^{2} - 14 \sin^{2} (π)$

Etapa 14.1.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$7 \sqrt{2} + 14 {(- 1 \cdot 1)}^{2} - 14 \sin^{2} (π)$

Etapa 14.1.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$7 \sqrt{2} + 14 {(- 1)}^{2} - 14 \sin^{2} (π)$

Etapa 14.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$7 \sqrt{2} + 14 \cdot 1 - 14 \sin^{2} (π)$

Etapa 14.1.9

Multiplique $14$ por $1$ .

$7 \sqrt{2} + 14 - 14 \sin^{2} (π)$

Etapa 14.1.10

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$7 \sqrt{2} + 14 - 14 \sin^{2} (0)$

Etapa 14.1.11

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$7 \sqrt{2} + 14 - 14 \cdot 0^{2}$

Etapa 14.1.12

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$7 \sqrt{2} + 14 - 14 \cdot 0$

Etapa 14.1.13

Multiplique $- 14$ por $0$ .

$7 \sqrt{2} + 14 + 0$

Etapa 14.2

Some $7 \sqrt{2}$ e $0$ .

$14 + 7 \sqrt{2}$

Etapa 15

$x = π$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = π$ é um mínimo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $π$ na expressão.

$f (π) = 7 \sqrt{2} \cos (π) + 7 \sin^{2} (π)$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (π) = 7 \sqrt{2} (- \cos (0)) + 7 \sin^{2} (π)$

Etapa 16.2.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (π) = 7 \sqrt{2} (- 1 \cdot 1) + 7 \sin^{2} (π)$

Etapa 16.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (π) = 7 \sqrt{2} \cdot - 1 + 7 \sin^{2} (π)$

Etapa 16.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$f (π) = - 7 \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (π)$

Etapa 16.2.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (π) = - 7 \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (0)$

Etapa 16.2.1.6

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f (π) = - 7 \sqrt{2} + 7 \cdot 0^{2}$

Etapa 16.2.1.7

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (π) = - 7 \sqrt{2} + 7 \cdot 0$

Etapa 16.2.1.8

Multiplique $7$ por $0$ .

$f (π) = - 7 \sqrt{2} + 0$

Etapa 16.2.2

Some $- 7 \sqrt{2}$ e $0$ .

$f (π) = - 7 \sqrt{2}$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $- 7 \sqrt{2}$ .

$y = - 7 \sqrt{2}$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 7 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.2

Multiplique $- 7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.2.1

Combine $\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $- 7$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot - 7}{2} \sqrt{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.2.2

Combine $\frac{\sqrt{2} \cdot - 7}{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot - 7 \sqrt{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.2.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{- 7 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.2.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{- 7 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 7 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.2.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 7 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 7 \cdot 2^{1}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.3.5

Avalie o expoente.

$\frac{- 7 \cdot 2}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.4

Multiplique $- 7$ por $2$ .

$\frac{- 14}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.5

Divida $- 14$ por $2$ .

$- 7 + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.6

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 + 14 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.7

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 + 14 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.8

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.8.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 7 + 14 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.8.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.8.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.8.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.8.4.1

Cancele o fator comum.

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.8.4.2

Reescreva a expressão.

$- 7 + 14 \frac{2^{1}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.8.5

Avalie o expoente.

$- 7 + 14 \frac{2}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.9

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 7 + 14 (\frac{2}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.10

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.10.1

Fatore $2$ de $14$ .

$- 7 + 2 (7) \frac{2}{4} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.10.2

Fatore $2$ de $4$ .

$- 7 + 2 \cdot 7 \frac{2}{2 \cdot 2} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.10.3

Cancele o fator comum.

$- 7 + 2 \cdot 7 \frac{2}{2 \cdot 2} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.10.4

Reescreva a expressão.

$- 7 + 7 (\frac{2}{2}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.11

Combine $7$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 7 + \frac{7 \cdot 2}{2} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.12

Multiplique $7$ por $2$ .

$- 7 + \frac{14}{2} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.13

Divida $14$ por $2$ .

$- 7 + 7 - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.14

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 + 7 - 14 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Etapa 18.1.15

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 + 7 - 14 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 18.1.16

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.16.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 7 + 7 - 14 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 18.1.16.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Etapa 18.1.16.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Etapa 18.1.16.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.16.4.1

Cancele o fator comum.

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Etapa 18.1.16.4.2

Reescreva a expressão.

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

Etapa 18.1.16.5

Avalie o expoente.

$- 7 + 7 - 14 \frac{2}{2^{2}}$

Etapa 18.1.17

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 7 + 7 - 14 (\frac{2}{4})$

Etapa 18.1.18

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.18.1

Fatore $2$ de $- 14$ .

$- 7 + 7 + 2 (- 7) \frac{2}{4}$

Etapa 18.1.18.2

Fatore $2$ de $4$ .

$- 7 + 7 + 2 \cdot - 7 \frac{2}{2 \cdot 2}$

Etapa 18.1.18.3

Cancele o fator comum.

$- 7 + 7 + 2 \cdot - 7 \frac{2}{2 \cdot 2}$

Etapa 18.1.18.4

Reescreva a expressão.

$- 7 + 7 - 7 (\frac{2}{2})$

Etapa 18.1.19

Combine $- 7$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 7 + 7 + \frac{- 7 \cdot 2}{2}$

Etapa 18.1.20

Multiplique $- 7$ por $2$ .

$- 7 + 7 + \frac{- 14}{2}$

Etapa 18.1.21

Divida $- 14$ por $2$ .

$- 7 + 7 - 7$

Etapa 18.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1

Some $- 7$ e $7$ .

$0 - 7$

Etapa 18.2.2

Subtraia $7$ de $0$ .

$- 7$

Etapa 19

$x = \frac{π}{4}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{4}$ é um máximo local

Etapa 20

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{π}{4}) = 7 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 20.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 20.2.1.2

Multiplique $7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.2.1

Combine $\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $7$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 7}{2} \cdot \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 20.2.1.2.2

Combine $\frac{\sqrt{2} \cdot 7}{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot (7 \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 20.2.1.2.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 20.2.1.2.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 20.2.1.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 20.2.1.2.6

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 20.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 20.2.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 20.2.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 20.2.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 20.2.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 20.2.1.3.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 20.2.1.4

Multiplique $7$ por $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{14}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 20.2.1.5

Divida $14$ por $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 20.2.1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Etapa 20.2.1.7

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

Etapa 20.2.1.8

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.8.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Etapa 20.2.1.8.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Etapa 20.2.1.8.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Etapa 20.2.1.8.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.8.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Etapa 20.2.1.8.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{2^{2}})$

Etapa 20.2.1.8.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{2^{2}})$

Etapa 20.2.1.9

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{4})$

Etapa 20.2.1.10

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.10.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 (1)}{4})$

Etapa 20.2.1.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.10.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

Etapa 20.2.1.10.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

Etapa 20.2.1.10.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{1}{2})$

Etapa 20.2.1.11

Combine $7$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 + \frac{7}{2}$

Etapa 20.2.2

Para escrever $7$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}$

Etapa 20.2.3

Combine $7$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + \frac{7}{2}$

Etapa 20.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2 + 7}{2}$

Etapa 20.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.5.1

Multiplique $7$ por $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{14 + 7}{2}$

Etapa 20.2.5.2

Some $14$ e $7$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{21}{2}$

Etapa 20.2.6

A resposta final é $\frac{21}{2}$ .

$y = \frac{21}{2}$

Etapa 21

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{7 π}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 7 \sqrt{2} \cos (\frac{7 π}{4}) + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- 7 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.3

Multiplique $- 7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.3.1

Combine $\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $- 7$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot - 7}{2} \sqrt{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.3.2

Combine $\frac{\sqrt{2} \cdot - 7}{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot - 7 \sqrt{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{- 7 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.3.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{- 7 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 7 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.3.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 7 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 7 \cdot 2^{1}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{- 7 \cdot 2}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.5

Multiplique $- 7$ por $2$ .

$\frac{- 14}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.6

Divida $- 14$ por $2$ .

$- 7 + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.7

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- 7 + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.8

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 + 14 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.9

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 + 14 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.10

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.10.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 7 + 14 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.10.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.10.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.10.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.10.4.1

Cancele o fator comum.

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.10.4.2

Reescreva a expressão.

$- 7 + 14 \frac{2^{1}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.10.5

Avalie o expoente.

$- 7 + 14 \frac{2}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.11

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 7 + 14 (\frac{2}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.12

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.12.1

Fatore $2$ de $14$ .

$- 7 + 2 (7) \frac{2}{4} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.12.2

Fatore $2$ de $4$ .

$- 7 + 2 \cdot 7 \frac{2}{2 \cdot 2} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.12.3

Cancele o fator comum.

$- 7 + 2 \cdot 7 \frac{2}{2 \cdot 2} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.12.4

Reescreva a expressão.

$- 7 + 7 (\frac{2}{2}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.13

Combine $7$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 7 + \frac{7 \cdot 2}{2} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.14

Multiplique $7$ por $2$ .

$- 7 + \frac{14}{2} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.15

Divida $14$ por $2$ .

$- 7 + 7 - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 22.1.16

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- 7 + 7 - 14 {(- \sin (\frac{π}{4}))}^{2}$

Etapa 22.1.17

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 + 7 - 14 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Etapa 22.1.18

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.18.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 + 7 - 14 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 22.1.18.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 + 7 - 14 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

Etapa 22.1.19

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 7 + 7 - 14 (1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

Etapa 22.1.20

Multiplique $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$- 7 + 7 - 14 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 22.1.21

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.21.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 7 + 7 - 14 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 22.1.21.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Etapa 22.1.21.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Etapa 22.1.21.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.21.4.1

Cancele o fator comum.

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Etapa 22.1.21.4.2

Reescreva a expressão.

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

Etapa 22.1.21.5

Avalie o expoente.

$- 7 + 7 - 14 \frac{2}{2^{2}}$

Etapa 22.1.22

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 7 + 7 - 14 (\frac{2}{4})$

Etapa 22.1.23

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.23.1

Fatore $2$ de $- 14$ .

$- 7 + 7 + 2 (- 7) \frac{2}{4}$

Etapa 22.1.23.2

Fatore $2$ de $4$ .

$- 7 + 7 + 2 \cdot - 7 \frac{2}{2 \cdot 2}$

Etapa 22.1.23.3

Cancele o fator comum.

$- 7 + 7 + 2 \cdot - 7 \frac{2}{2 \cdot 2}$

Etapa 22.1.23.4

Reescreva a expressão.

$- 7 + 7 - 7 (\frac{2}{2})$

Etapa 22.1.24

Combine $- 7$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 7 + 7 + \frac{- 7 \cdot 2}{2}$

Etapa 22.1.25

Multiplique $- 7$ por $2$ .

$- 7 + 7 + \frac{- 14}{2}$

Etapa 22.1.26

Divida $- 14$ por $2$ .

$- 7 + 7 - 7$

Etapa 22.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.1

Some $- 7$ e $7$ .

$0 - 7$

Etapa 22.2.2

Subtraia $7$ de $0$ .

$- 7$

Etapa 23

$x = \frac{7 π}{4}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{7 π}{4}$ é um máximo local

Etapa 24

Encontre o valor y quando $x = \frac{7 π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{7 π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 \sqrt{2} \cos (\frac{7 π}{4}) + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 24.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 24.2.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 24.2.1.3

Multiplique $7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1.3.1

Combine $\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $7$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 7}{2} \cdot \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 24.2.1.3.2

Combine $\frac{\sqrt{2} \cdot 7}{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot (7 \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 24.2.1.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 24.2.1.3.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 24.2.1.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 24.2.1.3.6

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 24.2.1.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 24.2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 24.2.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 24.2.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 24.2.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 24.2.1.4.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 24.2.1.5

Multiplique $7$ por $2$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{14}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 24.2.1.6

Divida $14$ por $2$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Etapa 24.2.1.7

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 {(- \sin (\frac{π}{4}))}^{2}$

Etapa 24.2.1.8

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Etapa 24.2.1.9

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1.9.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 24.2.1.9.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

Etapa 24.2.1.10

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (1 (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

Etapa 24.2.1.11

Multiplique $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

Etapa 24.2.1.12

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1.12.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Etapa 24.2.1.12.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Etapa 24.2.1.12.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Etapa 24.2.1.12.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1.12.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Etapa 24.2.1.12.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{2^{2}})$

Etapa 24.2.1.12.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{2^{2}})$

Etapa 24.2.1.13

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{4})$

Etapa 24.2.1.14

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1.14.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 (1)}{4})$

Etapa 24.2.1.14.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1.14.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

Etapa 24.2.1.14.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

Etapa 24.2.1.14.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{1}{2})$

Etapa 24.2.1.15

Combine $7$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + \frac{7}{2}$

Etapa 24.2.2

Para escrever $7$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}$

Etapa 24.2.3

Combine $7$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + \frac{7}{2}$

Etapa 24.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2 + 7}{2}$

Etapa 24.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.5.1

Multiplique $7$ por $2$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{14 + 7}{2}$

Etapa 24.2.5.2

Some $14$ e $7$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{21}{2}$

Etapa 24.2.6

A resposta final é $\frac{21}{2}$ .

$y = \frac{21}{2}$

Etapa 25

Esses são os extremos locais para $f (x) = 7 \sqrt{2} \cos (x) + 7 \sin^{2} (x)$ .

$(0, 7 \sqrt{2})$ é um mínimo local

$(π, - 7 \sqrt{2})$ é um mínimo local

$(\frac{π}{4}, \frac{21}{2})$ é um máximo local

$(\frac{7 π}{4}, \frac{21}{2})$ é um máximo local

Etapa 26