Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x} \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} \ln (x))$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.4.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.5

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.5.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.5.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.1.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 1.1.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.1.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.1.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 1.1.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 1.1.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.12

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 1.1.13

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.1.14

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.3

Multiplique os dois lados por $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1

Simplifique $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.4.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.4.1.1.3

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.4.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\ln (x) = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Simplifique $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ para o numerador.

$\ln (x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.4.2.1.1.2

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot 2)$

Etapa 2.4.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\ln (x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot 2)$

Etapa 2.4.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$\ln (x) = - 1 \cdot 2$

Etapa 2.4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\ln (x) = - 2$

Etapa 2.5

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- 2}$

Etapa 2.6

Reescreva $\ln (x) = - 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2} = x$

Etapa 2.7

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Reescreva a equação como $x = e^{- 2}$ .

$x = e^{- 2}$

Etapa 2.7.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{2}}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.1.2

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Etapa 3.1.3

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Etapa 3.1.4

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}$

Etapa 3.2

Defina o denominador em $\frac{1}{\sqrt{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{x} = 0$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Simplifique.

$x = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.4

Defina o denominador em $\frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 \sqrt{x} = 0$

Etapa 3.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.5.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.1

Simplifique ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.5.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.5.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 3.5.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 3.5.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Etapa 3.5.2.2.1.4

Simplifique.

$4 x = 0^{2}$

Etapa 3.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 x = 0$

Etapa 3.5.3

Divida cada termo em $4 x = 0$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Divida cada termo em $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 3.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 3.5.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Etapa 3.5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x = 0$

Etapa 3.6

Defina o argumento em $\ln (x)$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x \leq 0$

Etapa 3.7

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x < 0$

Etapa 3.8

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 4

Avalie $\sqrt{x} \ln (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = \frac{1}{e^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $\frac{1}{e^{2}}$ por $x$ .

$\sqrt{\frac{1}{e^{2}}} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Remova os parênteses.

$\sqrt{\frac{1}{e^{2}}} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

Etapa 4.1.2.2

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

Etapa 4.1.2.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{e^{2}}} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

Etapa 4.1.2.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{e} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

Etapa 4.1.2.5

Mova $e^{2}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{e} \ln (e^{- 2})$

Etapa 4.1.2.6

Expanda $\ln (e^{- 2})$ movendo $- 2$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{e} (- 2 \ln (e))$

Etapa 4.1.2.7

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\frac{1}{e} (- 2 \cdot 1)$

Etapa 4.1.2.8

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{e} \cdot - 2$

Etapa 4.1.2.9

Combine $\frac{1}{e}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{e}$

Etapa 4.1.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{e}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\sqrt{0} \ln (0)$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Remova os parênteses.

$\sqrt{0} \ln (0)$

Etapa 4.2.2.2

O logaritmo natural de zero é indefinido.

Indefinido

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(\frac{1}{e^{2}}, - \frac{2}{e})$

Etapa 5