Cálculo Exemplos

$f (x) = 1 - x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{\frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 1.1.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{\frac{3}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Etapa 1.1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 1.1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Etapa 1.1.2.6.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.2.7

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$0 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.1.3

Subtraia $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ de $0$ .

$f' (x) = - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$3 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1.1

Divida cada termo em $3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ por $3$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 2.3.1.2.2

Divida $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{0}{3}$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

Etapa 2.3.2

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o expoente.

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Etapa 2.3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.3.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.3.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.3.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 2.3.3.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.3.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 2.3.3.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 0^{2}$

Etapa 2.3.3.1.1.2

Simplifique.

$x = 0^{2}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- \frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2}$

Etapa 3.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$- \frac{3 \sqrt{x}}{2}$

Etapa 3.2

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x < 0$

Etapa 3.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Etapa 4

Avalie $1 - x^{\frac{3}{2}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$1 - {(0)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$1 - {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.1.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Etapa 4.1.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$1 - 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Etapa 4.1.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$1 - 0^{3}$

Etapa 4.1.2.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$1 - 0$

Etapa 4.1.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.1.2.2

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(0, 1)$

Etapa 5