Cálculo Exemplos

$J_{j (θ)} = - y^{(j)} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- y^{j} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ) - (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- y^{j} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ)] + \frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{j} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ)] + \frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [- y^{j} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ)]$ .

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Etapa 2.1

Como $- y^{j} \log (σ) θ$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{j} \log (σ) (x^{j} θ)$ em relação a $x$ é $- y^{j} \log (σ) θ \frac{d}{d x} [x^{j}]$ .

$- y^{j} \log (σ) θ \frac{d}{d x} [x^{j}] + \frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = j$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + \frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$ .

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Etapa 3.1

Como $- (1 - y^{j})$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (1 - y^{j}) \log (1 - σ x^{j} θ)$ em relação a $x$ é $- (1 - y^{j}) \frac{d}{d x} [\log (1 - σ x^{j} θ)]$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) \frac{d}{d x} [\log (1 - σ x^{j} θ)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log (x)$ e $g (x) = 1 - σ x^{j} θ$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - σ x^{j} θ$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [1 - σ x^{j} θ])$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\log (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u \ln (10)}$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} \frac{d}{d x} [1 - σ x^{j} θ])$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - σ x^{j} θ$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- σ x^{j} θ]$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- σ x^{j} θ]))$

Etapa 3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (0 + \frac{d}{d x} [- σ x^{j} θ]))$

Etapa 3.5

Como $- σ θ$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- σ x^{j} θ$ em relação a $x$ é $- σ θ \frac{d}{d x} [x^{j}]$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (0 - σ θ \frac{d}{d x} [x^{j}]))$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = j$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (0 - σ θ (j x^{j - 1})))$

Etapa 3.7

Subtraia $σ θ j x^{j - 1}$ de $0$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (- σ θ j x^{j - 1}))$

Etapa 3.8

Combine $\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$ e $σ$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (- \frac{σ}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} θ j x^{j - 1})$

Etapa 3.9

Combine $θ$ e $\frac{σ}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (- \frac{θ σ}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} j x^{j - 1})$

Etapa 3.10

Combine $j$ e $\frac{θ σ}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (- \frac{j (θ σ)}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} x^{j - 1})$

Etapa 3.11

Combine $x^{j - 1}$ e $\frac{j (θ σ)}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (- \frac{x^{j - 1} (j (θ σ))}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)})$

Etapa 3.12

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + 1 (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$

Etapa 3.13

Multiplique $1 - y^{j}$ por $1$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{1 \ln (10) - σ x^{j} θ \ln (10)}$

Etapa 4.2

Multiplique $\ln (10)$ por $1$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{\ln (10) - σ x^{j} θ \ln (10)}$

Etapa 4.3

Reordene os termos.

$- x^{j - 1} y^{j} j θ \log (σ) + (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{\ln (10) - σ x^{j} θ \ln (10)}$