Cálculo Exemplos

$\cos^{-1} (\sin (x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos^{-1} (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\cos^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\cos^{-1} (u)$ em relação a $u$ é $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}} \cos (x)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine $\cos (x)$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}$

Etapa 3.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$- \frac{\cos (x)}{\sqrt{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 3.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$- \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3.4.2

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 1$

Etapa 3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$