Cálculo Exemplos

$x^{2} \ln (x)$

Etapa 1

Escreva $x^{2} \ln (x)$ como uma função.

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.1.3.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.3.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 2.1.3.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.1.3.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.3.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.3.2.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Etapa 2.1.3.4

Reordene os termos.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x \ln (x) + x$ .

$2 x \ln (x) + x$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x \ln (x) + x = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x \ln (x) + x = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$2 x \ln (x) = - x$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $2 x \ln (x) = - x$ por $2 x$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $2 x \ln (x) = - x$ por $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Etapa 3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Etapa 3.3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Etapa 3.3.2.2.2

Divida $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Etapa 3.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 3.4

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 3.5

Reescreva $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

Etapa 3.6

Resolva $x$ .

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Etapa 3.6.1

Reescreva a equação como $x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 3.6.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 5.1

Defina o argumento em $\ln (x)$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x \leq 0$

Etapa 5.2

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 6

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

Etapa 7

Exclua os intervalos que não estão no domínio.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $0.30326533$ na expressão.

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln (0.30326533) + 0.30326533$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Remova os parênteses.

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln (0.30326533) + 0.30326533$

Etapa 8.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.2.1

Multiplique $2$ por $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = 0.60653067 \ln (0.30326533) + 0.30326533$

Etapa 8.2.2.2

Simplifique $0.60653067 \ln (0.30326533)$ movendo $0.60653067$ para dentro do logaritmo.

$f' (0.30326533) = \ln ({0.30326533}^{0.60653067}) + 0.30326533$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $0.30326533$ à potência de $0.60653067$ .

$f' (0.30326533) = \ln (0.48496413) + 0.30326533$

Etapa 8.2.3

Some $\ln (0.48496413)$ e $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = - 0.42041501$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $- 0.42041501$ .

$- 0.42041501$

Etapa 8.3

Em $x = 0.30326533$ , a derivada é $- 0.42041501$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ .

Decréscimo em $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Exclua os intervalos que não estão no domínio.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

Etapa 10

Substitua um valor do intervalo $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $1.60653067$ na expressão.

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln (1.60653067) + 1.60653067$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.1

Remova os parênteses.

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln (1.60653067) + 1.60653067$

Etapa 10.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.2.1

Multiplique $2$ por $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 3.21306134 \ln (1.60653067) + 1.60653067$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique $3.21306134 \ln (1.60653067)$ movendo $3.21306134$ para dentro do logaritmo.

$f' (1.60653067) = \ln ({1.60653067}^{3.21306134}) + 1.60653067$

Etapa 10.2.2.3

Eleve $1.60653067$ à potência de $3.21306134$ .

$f' (1.60653067) = \ln (4.58705612) + 1.60653067$

Etapa 10.2.3

Some $\ln (4.58705612)$ e $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 3.12976912$

Etapa 10.2.4

A resposta final é $3.12976912$ .

$3.12976912$

Etapa 10.3

Em $x = 1.60653067$ , a derivada é $3.12976912$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 11

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

Decréscimo em: $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 12