Cálculo Exemplos

$h (x) = x^{\sqrt{x}}$ ; $a = 4$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 2.1

Reescreva $x^{x^{\frac{1}{2}}}$ como $e^{\ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})}]$

Etapa 2.2

Expanda $\ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})$ movendo $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 5

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 6

Combine frações.

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Etapa 6.1

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 6.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 7

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 7.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 7.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 7.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 7.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 7.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 9

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 10

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 12

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Etapa 12.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Etapa 13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Etapa 14

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 15

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 16

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 17

Simplifique.

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Etapa 17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.2

Combine os termos.

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Etapa 17.2.1

Combine $e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.2.2

Combine $e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}$ e $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$