Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{x + 2}$ , $y = \frac{1}{x + 1}$ , $x = 2$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\sqrt{x + 2} = \frac{1}{x + 1}$

Etapa 1.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx - 0.24512233 + y = \frac{1}{x + 1}$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = - 0.24512233$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $- 0.24512233$ por $x$ .

$y = \frac{1}{(- 0.24512233) + 1}$

Etapa 1.3.2

Substitua $- 0.24512233$ por $x$ em $y = \frac{1}{(- 0.24512233) + 1}$ e resolva $y$ .

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Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{1}{- 0.24512233 + 1}$

Etapa 1.3.2.2

Remova os parênteses.

$y = \frac{1}{(- 0.24512233) + 1}$

Etapa 1.3.2.3

Simplifique $\frac{1}{(- 0.24512233) + 1}$ .

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Etapa 1.3.2.3.1

Some $- 0.24512233$ e $1$ .

$y = \frac{1}{0.75487766}$

Etapa 1.3.2.3.2

Divida $1$ por $0.75487766$ .

$y = 1.32471795$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(- 0.24512233, 1.32471795)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 0.24512233}^{2} \sqrt{x + 2} d x - \int_{- 0.24512233}^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 0.24512233$ e $2$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 0.24512233}^{2} \sqrt{x + 2} - (\frac{1}{x + 1}) d x$

Etapa 3.2

Para escrever $\sqrt{x + 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\int_{- 0.24512233}^{2} \sqrt{x + 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 3.3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.1

Combine $\sqrt{x + 2}$ e $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x + 2} (x + 1)}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}$

Etapa 3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{x + 2} (x + 1) - 1}{x + 1}$

$\int_{- 0.24512233}^{2} \frac{\sqrt{x + 2} (x + 1) - 1}{x + 1} d x$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{x + 2} x + \sqrt{x + 2} \cdot 1 - 1}{x + 1}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $\sqrt{x + 2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{x + 2} x + \sqrt{x + 2} - 1}{x + 1}$

$\int_{- 0.24512233}^{2} \frac{\sqrt{x + 2} x + \sqrt{x + 2} - 1}{x + 1} d x$

Etapa 4