Cálculo Exemplos

${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$

Etapa 1

Escreva ${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ como uma função.

$f (x) = {(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int {(x - \frac{1}{2 x})}^{2} d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva ${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ como $(x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x})$ .

$\int (x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x}) d x$

Etapa 4.2

Expanda $(x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x})$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x (x - \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} (x - \frac{1}{2 x}) d x$

Etapa 4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x \cdot x + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} (x - \frac{1}{2 x}) d x$

Etapa 4.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x \cdot x + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Etapa 4.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\int x^{2} + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Etapa 4.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\int x^{2} - x \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Etapa 4.3.1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.3.1.3.1

Fatore $x$ de $- x$ .

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Etapa 4.3.1.3.2

Fatore $x$ de $2 x$ .

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot 2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Etapa 4.3.1.3.3

Cancele o fator comum.

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot 2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Etapa 4.3.1.3.4

Reescreva a expressão.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Etapa 4.3.1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.3.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2 x}$ para o numerador.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Etapa 4.3.1.4.2

Fatore $x$ de $2 x$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{x \cdot 2} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Etapa 4.3.1.4.3

Cancele o fator comum.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{x \cdot 2} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Etapa 4.3.1.4.4

Reescreva a expressão.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Etapa 4.3.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Etapa 4.3.1.6

Multiplique $- \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x})$ .

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Etapa 4.3.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 \frac{1}{2 x} \frac{1}{2 x} d x$

Etapa 4.3.1.6.2

Multiplique $\frac{1}{2 x}$ por $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{2 x} d x$

Etapa 4.3.1.6.3

Multiplique $\frac{1}{2 x}$ por $\frac{1}{2 x}$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 x (2 x)} d x$

Etapa 4.3.1.6.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x \cdot x} d x$

Etapa 4.3.1.6.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 (x^{1} x)} d x$

Etapa 4.3.1.6.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 (x^{1} x^{1})} d x$

Etapa 4.3.1.6.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{1 + 1}} d x$

Etapa 4.3.1.6.8

Some $1$ e $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Etapa 4.3.2

Subtraia $\frac{1}{2}$ de $- \frac{1}{2}$ .

$\int x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\int x^{2} + 2 (- 1) \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Etapa 4.4.2

Cancele o fator comum.

$\int x^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Etapa 4.4.3

Reescreva a expressão.

$\int x^{2} - 1 + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{2} d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Etapa 8

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 9

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 9.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 9.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 9.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 9.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int x^{- 2} d x$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} (- x^{- 1} + C)$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Simplifique.

$\frac{1}{3} x^{3} - x + \frac{1}{4} (- x^{- 1}) + C$

Etapa 11.2

Simplifique.

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Etapa 11.2.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{x^{- 1}}{4} + C$

Etapa 11.2.2

Mova $x^{- 1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{1}{4 x} + C$

Etapa 12

A resposta é a primitiva da função $f (x) = {(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{1}{4 x} + C$