Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{(\ln (\sqrt{x}))}{x^{2}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\sqrt{x})}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Etapa 1.2

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Etapa 1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\ln (\sqrt{x}))}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{x})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{x})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.10

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.11

Multiplique $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.12

Mova $2$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.13

Multiplique $2$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.14

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.15

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.15.1

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.15.1.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.15.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.15.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.15.1.4

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.15.1.5

Divida $2$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{1}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.15.2

Simplifique $2 x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x}}{2 x}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{2 x}$

Etapa 5

Combine os fatores.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{2 x}$ por $\frac{1}{2 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x (2 x)}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x \cdot x}$

Etapa 5.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 (x^{1} x)}$

Etapa 5.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 (x^{1} x^{1})}$

Etapa 5.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x^{1 + 1}}$

Etapa 5.6

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x^{2}}$

Etapa 6

Mova o termo $\frac{1}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 7

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0$

Etapa 8

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$0$