Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{\tan (x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 1.2.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.3.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Etapa 1.3.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 3.5

Some $e^{x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 3.6

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 4

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Etapa 5

Mova o limite para o expoente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Etapa 6

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Etapa 7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 8

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{e^{0}}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{e^{0}}{\sec^{2} (0)}$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{\sec^{2} (0)}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.1

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{1^{2}}$

Etapa 9.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{1}$

Etapa 9.3

Divida $1$ por $1$ .

$1$