Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ é indefinida.

$- \frac{\sqrt{3}}{3} \leq x \leq \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 2

$\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ a partir da esquerda e $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 3

$\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ a partir da esquerda e $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 4

Liste todas as assíntotas verticais:

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 5

Avalie $lim_{x \to \infty} \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ para encontrar a assíntota horizontal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Etapa 5.2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{3 + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Etapa 5.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 5.2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 5.2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 5.2.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 5.2.6

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 5.3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 5.4

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 5.4.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 3 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 5.4.3

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{3 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 5.5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{3 - 0}}$

Etapa 5.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$\frac{4 + 0}{\sqrt{3 - 0}}$

Etapa 5.6.1.2

Some $4$ e $0$ .

$\frac{4}{\sqrt{3 - 0}}$

Etapa 5.6.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{4}{\sqrt{3 + 0}}$

Etapa 5.6.2.2

Some $3$ e $0$ .

$\frac{4}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.6.3

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.6.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.4.1

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 5.6.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 5.6.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 5.6.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.6.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 5.6.4.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.6.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.6.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.6.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.6.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 5.6.4.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 6

Avalie $lim_{x \to - \infty} \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ para encontrar a assíntota horizontal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Etapa 6.2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Etapa 6.2.2.1.2

Divida $3$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{3 + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Etapa 6.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 6.2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 6.2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 4 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 6.2.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{4 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 6.2.6

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 - 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 6.3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 6.4

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 6.4.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 6.4.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 3 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 6.4.4

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{3 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 6.5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{3 - 0}}$

Etapa 6.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1.1

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$\frac{4 + 0}{- \sqrt{3 - 0}}$

Etapa 6.6.1.2

Some $4$ e $0$ .

$\frac{4}{- \sqrt{3 - 0}}$

Etapa 6.6.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{4}{- \sqrt{3 + 0}}$

Etapa 6.6.2.2

Some $3$ e $0$ .

$\frac{4}{- \sqrt{3}}$

Etapa 6.6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{\sqrt{3}}$

Etapa 6.6.4

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- (\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 6.6.5

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.5.1

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 6.6.5.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 6.6.5.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 6.6.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 6.6.5.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 6.6.5.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6.6.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 6.6.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.6.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.6.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 6.6.5.6.5

Avalie o expoente.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 7

Liste as assíntotas horizontais:

$y = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 8

Use a divisão polinomial para encontrar as assíntotas oblíquas. Como essa expressão contém um radical, não é possível realizar a divisão polinomial.

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 9

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Assíntotas horizontais: $y = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 10