Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{16 - x^{2}}$ , $y = 0$

Etapa 1

Para encontrar o volume do sólido, primeiro defina a área de cada parte e, depois, integre em todo o intervalo. A área de cada parte é a área de um círculo com o raio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 4}^{4} {(f (x))}^{2} d x$ em que $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Etapa 2

Simplifique o integrando.

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Etapa 2.1

Reescreva ${\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{2}$ como $(4 + x) (4 - x)$ .

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Etapa 2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ como ${((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {({((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$V = {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$V = {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$V = (4 + x) (4 - x)$

Etapa 2.1.5

Simplifique.

$V = (4 + x) (4 - x)$

Etapa 2.2

Expanda $(4 + x) (4 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$V = 4 (4 - x) + x (4 - x)$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$V = 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x)$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$V = 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$V = 16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$V = 16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x)$

Etapa 2.3.1.3

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$V = 16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x)$

Etapa 2.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$V = 16 - 4 x + 4 x - x \cdot x$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.5.1

Mova $x$ .

$V = 16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x)$

Etapa 2.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$V = 16 - 4 x + 4 x - x^{2}$

Etapa 2.3.2

Some $- 4 x$ e $4 x$ .

$V = 16 + 0 - x^{2}$

Etapa 2.3.3

Some $16$ e $0$ .

$V = 16 - x^{2}$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$V = π (\int_{- 4}^{4} 16 d x + \int_{- 4}^{4} - x^{2} d x)$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} + \int_{- 4}^{4} - x^{2} d x)$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} - \int_{- 4}^{4} x^{2} d x)$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{4}))$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{4}))$

Etapa 7.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.2.1

Avalie $16 x$ em $4$ e em $- 4$ .

$V = π ((16 \cdot 4) - 16 \cdot - 4 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{4}))$

Etapa 7.2.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $4$ e em $- 4$ .

$V = π (16 \cdot 4 - 16 \cdot - 4 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Etapa 7.2.3

Simplifique.

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Etapa 7.2.3.1

Multiplique $16$ por $4$ .

$V = π (64 - 16 \cdot - 4 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $- 16$ por $- 4$ .

$V = π (64 + 64 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Etapa 7.2.3.3

Some $64$ e $64$ .

$V = π (128 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Etapa 7.2.3.4

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$V = π (128 - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Etapa 7.2.3.5

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$V = π (128 - (\frac{64}{3} - \frac{- 64}{3}))$

Etapa 7.2.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = π (128 - (\frac{64}{3} + \frac{64}{3}))$

Etapa 7.2.3.7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$V = π (128 - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{64}{3})))$

Etapa 7.2.3.8

Multiplique $\frac{64}{3}$ por $1$ .

$V = π (128 - (\frac{64}{3} + \frac{64}{3}))$

Etapa 7.2.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (128 - \frac{64 + 64}{3})$

Etapa 7.2.3.10

Some $64$ e $64$ .

$V = π (128 - \frac{128}{3})$

Etapa 7.2.3.11

Para escrever $128$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (128 \cdot \frac{3}{3} - \frac{128}{3})$

Etapa 7.2.3.12

Combine $128$ e $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{128 \cdot 3}{3} - \frac{128}{3})$

Etapa 7.2.3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{128 \cdot 3 - 128}{3})$

Etapa 7.2.3.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.3.14.1

Multiplique $128$ por $3$ .

$V = π (\frac{384 - 128}{3})$

Etapa 7.2.3.14.2

Subtraia $128$ de $384$ .

$V = π (\frac{256}{3})$

Etapa 7.2.3.15

Combine $π$ e $\frac{256}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 256}{3}$

Etapa 7.2.3.16

Mova $256$ para a esquerda de $π$ .

$V = \frac{256 π}{3}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$V = \frac{256 π}{3}$

Forma decimal:

$V = 268.08257310 \dots$

Etapa 9