Cálculo Exemplos

$\tan (3 x + y) = 3 x$ , $(0, 0)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (\tan (3 x + y)) = \frac{d}{d y} (3 x)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \tan (y)$ e $g (y) = 3 x + y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d y} [3 x + y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d y} [3 x + y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x + y$ .

$\sec^{2} (3 x + y) \frac{d}{d y} [3 x + y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\sec^{2} (3 x + y) (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.2.2

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 x$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\sec^{2} (3 x + y) (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\sec^{2} (3 x + y) (3 x' + \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sec^{2} (3 x + y) (3 x' + 1)$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 x$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$3 \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$3 x'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\sec^{2} (3 x + y) (3 x' + 1) = 3 x'$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Simplifique $\sec^{2} (3 x + y) (3 x' + 1)$ .

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Etapa 5.1.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + \sec^{2} (3 x + y) (3 x' + 1) = 3 x'$

Etapa 5.1.1.2

Simplifique somando os zeros.

$\sec^{2} (3 x + y) (3 x' + 1) = 3 x'$

Etapa 5.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec^{2} (3 x + y) (3 x') + \sec^{2} (3 x + y) \cdot 1 = 3 x'$

Etapa 5.1.1.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 \sec^{2} (3 x + y) x' + \sec^{2} (3 x + y) \cdot 1 = 3 x'$

Etapa 5.1.1.4.2

Multiplique $\sec^{2} (3 x + y)$ por $1$ .

$3 \sec^{2} (3 x + y) x' + \sec^{2} (3 x + y) = 3 x'$

Etapa 5.1.1.4.3

Reordene os fatores em $3 \sec^{2} (3 x + y) x' + \sec^{2} (3 x + y)$ .

$3 x' \sec^{2} (3 x + y) + \sec^{2} (3 x + y) = 3 x'$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que contêm $x'$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $3 x'$ dos dois lados da equação.

$3 x' \sec^{2} (3 x + y) + \sec^{2} (3 x + y) - 3 x' = 0$

Etapa 5.2.2

Mova $- 3 x'$ .

$3 x' \sec^{2} (3 x + y) - 3 x' + \sec^{2} (3 x + y) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $3 x'$ de $3 x' \sec^{2} (3 x + y)$ .

$3 x' \sec^{2} (3 x + y) - 3 x' + \sec^{2} (3 x + y) = 0$

Etapa 5.2.4

Fatore $3 x'$ de $- 3 x'$ .

$3 x' \sec^{2} (3 x + y) + 3 x' \cdot - 1 + \sec^{2} (3 x + y) = 0$

Etapa 5.2.5

Fatore $3 x'$ de $3 x' \sec^{2} (3 x + y) + 3 x' \cdot - 1$ .

$3 x' (\sec^{2} (3 x + y) - 1) + \sec^{2} (3 x + y) = 0$

Etapa 5.2.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$3 x' \tan^{2} (3 x + y) + \sec^{2} (3 x + y) = 0$

Etapa 5.3

Subtraia $\sec^{2} (3 x + y)$ dos dois lados da equação.

$3 x' \tan^{2} (3 x + y) = - \sec^{2} (3 x + y)$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $3 x' \tan^{2} (3 x + y) = - \sec^{2} (3 x + y)$ por $3 \tan^{2} (3 x + y)$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $3 x' \tan^{2} (3 x + y) = - \sec^{2} (3 x + y)$ por $3 \tan^{2} (3 x + y)$ .

$\frac{3 x' \tan^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)} = \frac{- \sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x' \tan^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)} = \frac{- \sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x' \tan^{2} (3 x + y)}{\tan^{2} (3 x + y)} = \frac{- \sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $\tan^{2} (3 x + y)$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' \tan^{2} (3 x + y)}{\tan^{2} (3 x + y)} = \frac{- \sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Etapa 5.4.2.2.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- \sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = - \frac{\sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{\sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Etapa 7

Substitua $x$ por $0$ e $y$ por $0$ na expressão.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{3 \tan^{2} (3 (0) + 0)}$

Etapa 8

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.1

Remova os parênteses.

$- \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{3 \tan^{2} (3 (0) + 0)}$

Etapa 8.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$- \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{3 \tan^{2} (0 + 0)}$

Etapa 8.3

Some $0$ e $0$ .

$- \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{3 \tan^{2} (0)}$

Etapa 8.4

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$- \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{3 \cdot 0^{2}}$

Etapa 8.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{3 \cdot 0}$

Etapa 8.6

Multiplique $3$ por $0$ .

$- \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{0}$

Etapa 8.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido