Cálculo Exemplos

$\frac{x}{x^{2} - x + 25}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x}{x^{2} - x + 25}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - x + 25}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - x + 25$ .

$\frac{(x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - x + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Multiplique $x^{2} - x + 25$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - x + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 2.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 2.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 2.2.8

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 2.2.9

Some $2 x - 1$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.2.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.1.4

Multiplique $- x \cdot - 1$ .

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Etapa 2.3.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + 1 x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.1.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.2

Combine os termos opostos em $x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x$ .

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Etapa 2.3.2.2.1

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2} + 0}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.2.2

Some $x^{2} + 25 - 2 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.3

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 5^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.2

Reordene $- x^{2}$ e $5^{2}$ .

$\frac{5^{2} - x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 5$ e $b = x$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} \frac{d}{d x} ((5 + x) (5 - x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{({(x^{2} - x + 25)}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - x + 25)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} \frac{d}{d x} ((5 + x) (5 - x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} \frac{d}{d x} ((5 + x) (5 - x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 5 + x$ e $g (x) = 5 - x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) \frac{d}{d x} (5 - x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) (\frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- x)) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Etapa 3.4.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Etapa 3.4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) \frac{d}{d x} (- x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Etapa 3.4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) (- \frac{d}{d x} x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Etapa 3.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) (- 1 \cdot 1) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Etapa 3.4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) \cdot - 1 + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Etapa 3.4.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $5 + x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- 1 \cdot (5 + x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Etapa 3.4.6.3

Reescreva $- 1 (5 + x)$ como $- (5 + x)$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Etapa 3.4.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + (5 - x) (\frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (x))) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Etapa 3.4.8

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + (5 - x) (0 + \frac{d}{d x} (x))) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Etapa 3.4.9

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Etapa 3.4.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + (5 - x) \cdot 1) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Etapa 3.4.11

Multiplique $5 - x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - x + 25$ .

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Etapa 3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - x + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x) - (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x) - (5 + x) (5 - x) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - x + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x) - (5 + x) (5 - x) (2 (x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Etapa 3.6

Simplifique com fatoração.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) ((x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Etapa 3.6.2

Fatore $x^{2} - x + 25$ de ${(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) ((x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25])$ .

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Etapa 3.6.2.1

Fatore $x^{2} - x + 25$ de ${(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) ((x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x)) - 2 (5 + x) (5 - x) ((x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Etapa 3.6.2.2

Fatore $x^{2} - x + 25$ de $- 2 (5 + x) (5 - x) ((x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25])$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) ((x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x)) + (x^{2} - x + 25) (- 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25)))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Etapa 3.6.2.3

Fatore $x^{2} - x + 25$ de $(x^{2} - x + 25) ((x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x)) + (x^{2} - x + 25) (- 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) ((x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25)))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Etapa 3.7

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.7.1

Fatore $x^{2} - x + 25$ de ${(x^{2} - x + 25)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) ((x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25)))}{(x^{2} - x + 25) {(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.7.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) ((x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25)))}{(x^{2} - x + 25) {(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.7.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - x + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.10

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.12

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x - 1 + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.13

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.14

Some $2 x - 1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15

Simplifique.

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Etapa 3.15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- 1 \cdot 5 - x + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- 1 \cdot 5 - x + 5 - x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.15.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.15.3.1.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- 5 - x + 5 - x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.2

Combine os termos opostos em $- 5 - x + 5 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.15.3.1.2.1

Some $- 5$ e $5$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- x + 0 - x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.2.2

Some $- x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- x - x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.3

Subtraia $x$ de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- 2 x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 x) - x (- 2 x) + 25 (- 2 x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.15.3.1.5.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} x - x (- 2 x) + 25 (- 2 x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} x - 1 \cdot (- 2 x \cdot x) + 25 (- 2 x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.5.3

Multiplique $- 2$ por $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} x - 1 \cdot (- 2 x \cdot x) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.15.3.1.6.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.15.3.1.6.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{2}) - 1 \cdot (- 2 x \cdot x) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.6.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.15.3.1.6.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{2}) - 1 \cdot (- 2 x \cdot x) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.6.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 2} - 1 \cdot (- 2 x \cdot x) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.6.1.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot (- 2 x \cdot x) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.6.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.15.3.1.6.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.6.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot (- 2 x^{2}) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.6.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.7

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 10 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.8

Expanda $(- 10 - 2 x) (5 - x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.15.3.1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 10 (5 - x) - 2 x (5 - x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 10 \cdot 5 - 10 (- x) - 2 x (5 - x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 10 \cdot 5 - 10 (- x) - 2 x \cdot 5 - 2 x (- x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.15.3.1.9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.15.3.1.9.1.1

Multiplique $- 10$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 - 10 (- x) - 2 x \cdot 5 - 2 x (- x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.9.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 10 x - 2 x \cdot 5 - 2 x (- x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.9.1.3

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 10 x - 10 x - 2 x (- x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.9.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 10 x - 10 x - 2 \cdot (- 1 x \cdot x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.9.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.15.3.1.9.1.5.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 10 x - 10 x - 2 \cdot (- 1 (x \cdot x))) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.9.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 10 x - 10 x - 2 \cdot (- 1 x^{2})) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.9.1.6

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 10 x - 10 x + 2 x^{2}) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.9.2

Subtraia $10 x$ de $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 0 + 2 x^{2}) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.9.3

Some $- 50$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 2 x^{2}) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.10

Expanda $(- 50 + 2 x^{2}) (2 x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.15.3.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 (2 x - 1) + 2 x^{2} (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 (2 x) - 50 \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 (2 x) - 50 \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.11

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.15.3.1.11.1

Multiplique $2$ por $- 50$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x - 50 \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.11.2

Multiplique $- 50$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.11.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 2 \cdot (2 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.11.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.15.3.1.11.4.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 2 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.11.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.15.3.1.11.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 2 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.11.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 2 \cdot (2 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.11.4.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 2 \cdot (2 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.11.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.1.11.6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 4 x^{3} - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.2

Combine os termos opostos em $- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 4 x^{3} - 2 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.15.3.2.1

Subtraia $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} - 50 x - 100 x + 50 + 4 x^{3} + 0}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.2.2

Some $- 2 x^{3} - 50 x - 100 x + 50 + 4 x^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} - 50 x - 100 x + 50 + 4 x^{3}}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.3

Some $- 2 x^{3}$ e $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 50 x - 100 x + 50}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.3.4

Subtraia $100 x$ de $- 50 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 150 x + 50}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.4

Fatore $2$ de $2 x^{3} - 150 x + 50$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.15.4.1

Fatore $2$ de $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3}) - 150 x + 50}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.4.2

Fatore $2$ de $- 150 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3}) + 2 (- 75 x) + 50}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.4.3

Fatore $2$ de $50$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 (- 75 x) + 2 \cdot 25}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.4.4

Fatore $2$ de $2 x^{3} + 2 (- 75 x)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} - 75 x) + 2 \cdot 25}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 3.15.4.5

Fatore $2$ de $2 (x^{3} - 75 x) + 2 \cdot 25$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} - 75 x + 25)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

$\frac{(x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - x + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.2

Multiplique $x^{2} - x + 25$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - x + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.8

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.9

Some $2 x - 1$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2.1.4

Multiplique $- x \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + 1 x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2.1.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2.2

Combine os termos opostos em $x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.2.1

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2} + 0}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2.2.2

Some $x^{2} + 25 - 2 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2.3

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.3.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 5^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.2

Reordene $- x^{2}$ e $5^{2}$ .

$\frac{5^{2} - x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 5$ e $b = x$ .

$f' (x) = \frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}} = 0$

Etapa 6.2

Defina o numerador como igual a zero.

$(5 + x) (5 - x) = 0$

Etapa 6.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$5 + x = 0$

$5 - x = 0$

Etapa 6.3.2

Defina $5 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Defina $5 + x$ como igual a $0$ .

$5 + x = 0$

Etapa 6.3.2.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 6.3.3

Defina $5 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Defina $5 - x$ como igual a $0$ .

$5 - x = 0$

Etapa 6.3.3.2

Resolva $5 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$- x = - 5$

Etapa 6.3.3.2.2

Divida cada termo em $- x = - 5$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 5$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 6.3.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 6.3.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 6.3.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.3.1

Divida $- 5$ por $- 1$ .

$x = 5$

Etapa 6.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $(5 + x) (5 - x) = 0$ verdadeiro.

$x = - 5, 5$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 5, 5$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = - 5$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{2 ({(- 5)}^{3} - 75 \cdot - 5 + 25)}{{({(- 5)}^{2} - (- 5) + 25)}^{3}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $3$ .

$\frac{2 (- 125 - 75 \cdot - 5 + 25)}{{({(- 5)}^{2} - (- 5) + 25)}^{3}}$

Etapa 10.1.2

Multiplique $- 75$ por $- 5$ .

$\frac{2 (- 125 + 375 + 25)}{{({(- 5)}^{2} - (- 5) + 25)}^{3}}$

Etapa 10.1.3

Some $- 125$ e $375$ .

$\frac{2 (250 + 25)}{{({(- 5)}^{2} - (- 5) + 25)}^{3}}$

Etapa 10.1.4

Some $250$ e $25$ .

$\frac{2 \cdot 275}{{({(- 5)}^{2} - (- 5) + 25)}^{3}}$

Etapa 10.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$\frac{2 \cdot 275}{{(25 - (- 5) + 25)}^{3}}$

Etapa 10.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{2 \cdot 275}{{(25 + 5 + 25)}^{3}}$

Etapa 10.2.3

Some $25$ e $5$ .

$\frac{2 \cdot 275}{{(30 + 25)}^{3}}$

Etapa 10.2.4

Some $30$ e $25$ .

$\frac{2 \cdot 275}{55^{3}}$

Etapa 10.2.5

Eleve $55$ à potência de $3$ .

$\frac{2 \cdot 275}{166375}$

Etapa 10.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Multiplique $2$ por $275$ .

$\frac{550}{166375}$

Etapa 10.3.2

Cancele o fator comum de $550$ e $166375$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1

Fatore $275$ de $550$ .

$\frac{275 (2)}{166375}$

Etapa 10.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.2.1

Fatore $275$ de $166375$ .

$\frac{275 \cdot 2}{275 \cdot 605}$

Etapa 10.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{275 \cdot 2}{275 \cdot 605}$

Etapa 10.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{605}$

Etapa 11

$x = - 5$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 5$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f (- 5) = \frac{- 5}{{(- 5)}^{2} - (- 5) + 25}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{25 - (- 5) + 25}$

Etapa 12.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{25 + 5 + 25}$

Etapa 12.2.1.3

Some $25$ e $5$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{30 + 25}$

Etapa 12.2.1.4

Some $30$ e $25$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{55}$

Etapa 12.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 5$ e $55$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1.1

Fatore $5$ de $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{5 (- 1)}{55}$

Etapa 12.2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1.2.1

Fatore $5$ de $55$ .

$f (- 5) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 11}$

Etapa 12.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 5) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 11}$

Etapa 12.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 5) = \frac{- 1}{11}$

Etapa 12.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 5) = - \frac{1}{11}$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $- \frac{1}{11}$ .

$y = - \frac{1}{11}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 5$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{2 ({(5)}^{3} - 75 \cdot 5 + 25)}{{({(5)}^{2} - (5) + 25)}^{3}}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$\frac{2 (125 - 75 \cdot 5 + 25)}{{(5^{2} - (5) + 25)}^{3}}$

Etapa 14.1.2

Multiplique $- 75$ por $5$ .

$\frac{2 (125 - 375 + 25)}{{(5^{2} - (5) + 25)}^{3}}$

Etapa 14.1.3

Subtraia $375$ de $125$ .

$\frac{2 (- 250 + 25)}{{(5^{2} - (5) + 25)}^{3}}$

Etapa 14.1.4

Some $- 250$ e $25$ .

$\frac{2 \cdot - 225}{{(5^{2} - (5) + 25)}^{3}}$

Etapa 14.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 225}{{(25 - (5) + 25)}^{3}}$

Etapa 14.2.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{2 \cdot - 225}{{(25 - 5 + 25)}^{3}}$

Etapa 14.2.3

Subtraia $5$ de $25$ .

$\frac{2 \cdot - 225}{{(20 + 25)}^{3}}$

Etapa 14.2.4

Some $20$ e $25$ .

$\frac{2 \cdot - 225}{45^{3}}$

Etapa 14.2.5

Eleve $45$ à potência de $3$ .

$\frac{2 \cdot - 225}{91125}$

Etapa 14.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Multiplique $2$ por $- 225$ .

$\frac{- 450}{91125}$

Etapa 14.3.2

Cancele o fator comum de $- 450$ e $91125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.1

Fatore $225$ de $- 450$ .

$\frac{225 (- 2)}{91125}$

Etapa 14.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.2.1

Fatore $225$ de $91125$ .

$\frac{225 \cdot - 2}{225 \cdot 405}$

Etapa 14.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{225 \cdot - 2}{225 \cdot 405}$

Etapa 14.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2}{405}$

Etapa 14.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{405}$

Etapa 15

$x = 5$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 5$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = \frac{5}{{(5)}^{2} - (5) + 25}$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Cancele o fator comum de $5$ e ${(5)}^{2} - (5) + 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Fatore $5$ de $5$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5^{2} - (5) + 25}$

Etapa 16.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.2.1

Fatore $5$ de $5^{2}$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5 - (5) + 25}$

Etapa 16.2.1.2.2

Fatore $5$ de $- (5)$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5 + 5 \cdot - 1 + 25}$

Etapa 16.2.1.2.3

Fatore $5$ de $5 \cdot 5 + 5 \cdot - 1$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1) + 25}$

Etapa 16.2.1.2.4

Fatore $5$ de $25$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1) + 5 (5)}$

Etapa 16.2.1.2.5

Fatore $5$ de $5 \cdot (5 - 1) + 5 (5)$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1 + 5)}$

Etapa 16.2.1.2.6

Cancele o fator comum.

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1 + 5)}$

Etapa 16.2.1.2.7

Reescreva a expressão.

$f (5) = \frac{1}{5 - 1 + 5}$

Etapa 16.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.1

Subtraia $1$ de $5$ .

$f (5) = \frac{1}{4 + 5}$

Etapa 16.2.2.2

Some $4$ e $5$ .

$f (5) = \frac{1}{9}$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $\frac{1}{9}$ .

$y = \frac{1}{9}$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{x}{x^{2} - x + 25}$ .

$(- 5, - \frac{1}{11})$ é um mínimo local

$(5, \frac{1}{9})$ é um máximo local

Etapa 18