Cálculo Exemplos

$2 x^{3} - 21 x^{2} + 60 x$

Etapa 1

Escreva $2 x^{3} - 21 x^{2} + 60 x$ como uma função.

$f (x) = 2 x^{3} - 21 x^{2} + 60 x$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 21 x^{2} + 60 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 21 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 21$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 21 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 21 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{2} - 21 (2 x) + \frac{d}{d x} [60 x]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 21$ .

$6 x^{2} - 42 x + \frac{d}{d x} [60 x]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [60 x]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $60$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $60 x$ em relação a $x$ é $60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 42 x + 60 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{2} - 42 x + 60 \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $60$ por $1$ .

$6 x^{2} - 42 x + 60$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} - 42 x + 60$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [60]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 42 x) + \frac{d}{d x} (60)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 42 x) + \frac{d}{d x} (60)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 42 x) + \frac{d}{d x} (60)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 42 x) + \frac{d}{d x} (60)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 42 x]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 42$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 42 x$ em relação a $x$ é $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 42 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (60)$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (60)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 42$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 42 + \frac{d}{d x} (60)$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.4.1

Como $60$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $60$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 42 + 0$

Etapa 3.4.2

Some $12 x - 42$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 42$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$6 x^{2} - 42 x + 60 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 21 x^{2} + 60 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 21 x^{2}]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $- 21$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 21 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 21 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{2} - 21 (2 x) + \frac{d}{d x} [60 x]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 21$ .

$6 x^{2} - 42 x + \frac{d}{d x} [60 x]$

Etapa 5.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [60 x]$ .

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Etapa 5.1.4.1

Como $60$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $60 x$ em relação a $x$ é $60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 42 x + 60 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{2} - 42 x + 60 \cdot 1$

Etapa 5.1.4.3

Multiplique $60$ por $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 42 x + 60$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x^{2} - 42 x + 60$ .

$6 x^{2} - 42 x + 60$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{2} - 42 x + 60 = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x^{2} - 42 x + 60 = 0$

Etapa 6.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.2.1

Fatore $6$ de $6 x^{2} - 42 x + 60$ .

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Etapa 6.2.1.1

Fatore $6$ de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 42 x + 60 = 0$

Etapa 6.2.1.2

Fatore $6$ de $- 42 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 7 x) + 60 = 0$

Etapa 6.2.1.3

Fatore $6$ de $60$ .

$6 x^{2} + 6 (- 7 x) + 6 \cdot 10 = 0$

Etapa 6.2.1.4

Fatore $6$ de $6 x^{2} + 6 (- 7 x)$ .

$6 (x^{2} - 7 x) + 6 \cdot 10 = 0$

Etapa 6.2.1.5

Fatore $6$ de $6 (x^{2} - 7 x) + 6 \cdot 10$ .

$6 (x^{2} - 7 x + 10) = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore.

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Etapa 6.2.2.1

Fatore $x^{2} - 7 x + 10$ usando o método AC.

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Etapa 6.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $10$ e cuja soma é $- 7$ .

$- 5, - 2$

Etapa 6.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$6 ((x - 5) (x - 2)) = 0$

Etapa 6.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 (x - 5) (x - 2) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 6.4

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.4.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 6.4.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 6.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 6.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $6 (x - 5) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, 2$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 5, 2$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 5$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 (5) - 42$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Multiplique $12$ por $5$ .

$60 - 42$

Etapa 10.2

Subtraia $42$ de $60$ .

$18$

Etapa 11

$x = 5$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 5$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 5$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = 2 {(5)}^{3} - 21 {(5)}^{2} + 60 (5)$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.2.1.1

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$f (5) = 2 \cdot 125 - 21 {(5)}^{2} + 60 (5)$

Etapa 12.2.1.2

Multiplique $2$ por $125$ .

$f (5) = 250 - 21 {(5)}^{2} + 60 (5)$

Etapa 12.2.1.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (5) = 250 - 21 \cdot 25 + 60 (5)$

Etapa 12.2.1.4

Multiplique $- 21$ por $25$ .

$f (5) = 250 - 525 + 60 (5)$

Etapa 12.2.1.5

Multiplique $60$ por $5$ .

$f (5) = 250 - 525 + 300$

Etapa 12.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 12.2.2.1

Subtraia $525$ de $250$ .

$f (5) = - 275 + 300$

Etapa 12.2.2.2

Some $- 275$ e $300$ .

$f (5) = 25$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $25$ .

$y = 25$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 (2) - 42$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 14.1

Multiplique $12$ por $2$ .

$24 - 42$

Etapa 14.2

Subtraia $42$ de $24$ .

$- 18$

Etapa 15

$x = 2$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 2$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 21 {(2)}^{2} + 60 (2)$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 21 {(2)}^{2} + 60 (2)$

Etapa 16.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (2) = 2^{1 + 3} - 21 {(2)}^{2} + 60 (2)$

Etapa 16.2.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$f (2) = 2^{4} - 21 {(2)}^{2} + 60 (2)$

Etapa 16.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (2) = 16 - 21 {(2)}^{2} + 60 (2)$

Etapa 16.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = 16 - 21 \cdot 4 + 60 (2)$

Etapa 16.2.1.4

Multiplique $- 21$ por $4$ .

$f (2) = 16 - 84 + 60 (2)$

Etapa 16.2.1.5

Multiplique $60$ por $2$ .

$f (2) = 16 - 84 + 120$

Etapa 16.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.1

Subtraia $84$ de $16$ .

$f (2) = - 68 + 120$

Etapa 16.2.2.2

Some $- 68$ e $120$ .

$f (2) = 52$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $52$ .

$y = 52$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 x^{3} - 21 x^{2} + 60 x$ .

$(5, 25)$ é um mínimo local

$(2, 52)$ é um máximo local

Etapa 18