Cálculo Exemplos

$y = {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 25$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 25$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 25$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Etapa 1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Etapa 1.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Etapa 1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Etapa 1.5.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Etapa 1.6

Combine frações.

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Etapa 1.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Etapa 1.6.2

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Etapa 1.6.3

Mova ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Etapa 1.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])$

Etapa 1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])$

Etapa 1.9

Como $- 25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 25$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

Etapa 1.10

Combine frações.

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Etapa 1.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

Etapa 1.10.2

Combine $2$ e $\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} x$

Etapa 1.10.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} x$

Etapa 1.10.4

Combine $\frac{4}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $\frac{4}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ em relação a $x$ é $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.3.3

Multiplique ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 25$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 25$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 25$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.6

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.8.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.8.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.9

Combine frações.

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Etapa 2.9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.9.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.9.3

Mova ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.9.4

Combine $\frac{1}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.12

Como $- 25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 25$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.13

Combine frações.

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Etapa 2.13.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.13.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.13.3

Combine $- 2$ e $\frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.13.4

Combine $\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.17

Some $1$ e $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.18

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.19

Para escrever ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.20

Combine ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.22

Multiplique ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.22.1

Mova ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.22.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.22.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.22.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.22.5

Divida $3$ por $3$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{1} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.23

Simplifique ${(x^{2} - 25)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 25) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.24

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2} - 25$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.25

Reescreva $\frac{\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ como um produto.

$\frac{4}{3} (\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.26

Multiplique $\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{1}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.27

Multiplique ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.27.1

Mova ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 2.27.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Etapa 2.27.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Etapa 2.27.4

Some $2$ e $2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.28

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2})}{3 (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 2.29

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.30

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.30.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot - 25 - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.30.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot - 25) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.30.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.30.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.30.3.1.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot - 25) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.30.3.1.2

Multiplique $4 (3 \cdot - 25)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.30.3.1.2.1

Multiplique $3$ por $- 25$ .

$\frac{12 x^{2} + 4 \cdot - 75 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.30.3.1.2.2

Multiplique $4$ por $- 75$ .

$\frac{12 x^{2} - 300 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.30.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$\frac{12 x^{2} - 300 - 8 x^{2}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.30.3.2

Subtraia $8 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 300}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.30.4

Fatore $4$ de $4 x^{2} - 300$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.30.4.1

Fatore $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 300}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.30.4.2

Fatore $4$ de $- 300$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 75}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.30.4.3

Fatore $4$ de $4 x^{2} + 4 \cdot - 75$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 75)}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Como $\frac{4}{9}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 (x^{2} - 75)}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$ em relação a $x$ é $\frac{4}{9} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 75}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}]$ .

$\frac{4}{9} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 75}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}]$

Etapa 3.2

$\frac{4}{9} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 75] - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{({(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}})}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 75] - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $\frac{4}{3} \cdot 2$ .

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Etapa 3.3.1.2.1

Combine $\frac{4}{3}$ e $2$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 75] - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4 \cdot 2}{3}}}$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 75] - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 75$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75]$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75]) - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 75]) - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.3.4

Como $- 75$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 75$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} (2 x + 0) - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} (2 x) - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.3.5.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 25$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 25$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 25$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.6

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.8.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.8.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.9

Combine $\frac{4}{3}$ e ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25]))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.12

Como $- 25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 25$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3} (2 x + 0))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.13

Combine frações.

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Etapa 3.13.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3} (2 x))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.13.2

Combine $2$ e $\frac{4 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{2 (4 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}{3} x)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.13.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3} x)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.13.4

Combine $\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ e $x$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.13.5

Multiplique $\frac{4}{9}$ por $\frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$ .

$\frac{4 (2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14

Simplifique.

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Etapa 3.14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + (- x^{2} - - 75) \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x) + 4 ((- x^{2} - - 75) \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.14.3.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{8 ({(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x) + 4 ((- x^{2} - - 75) \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 75$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 ((- x^{2} + 75) \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- x^{2} \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3} + 75 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.4

Multiplique $- x^{2} \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3}$ .

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Etapa 3.14.3.4.1

Combine $\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x \cdot x^{2}}{3} + 75 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.14.3.4.2.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (x^{2} x)}{3} + 75 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.4.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.14.3.4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (x^{2} x^{1})}{3} + 75 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.4.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{2 + 1}}{3} + 75 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.4.2.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3}}{3} + 75 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.14.3.5.1

Fatore $3$ de $75$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3}}{3} + 3 (25) \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3}}{3} + 3 \cdot 25 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3}}{3} + 25 (8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x))}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.6

Multiplique $8$ por $25$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3}}{3} + 200 ({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x))}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.7

Para escrever $200 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3}}{3} + 200 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x \cdot \frac{3}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.8

Combine $200 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3}}{3} + \frac{200 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x \cdot 3}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 \frac{- 8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3} + 200 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x \cdot 3}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.14.3.10.1

Fatore $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ de $- 8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3} + 200 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x \cdot 3$ .

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Etapa 3.14.3.10.1.1

Reordene a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.14.3.10.1.1.1

Mova ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 \frac{- 8 x^{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + 200 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x \cdot 3}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.10.1.1.2

Mova ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 \frac{- 8 x^{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + 200 x \cdot 3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.10.1.1.3

Mova $x$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 \frac{- 8 x^{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + 200 \cdot 3 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.10.1.2

Fatore $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ de $- 8 x^{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2}) + 200 \cdot 3 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.10.1.3

Fatore $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ de $200 \cdot 3 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2}) + 8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (25 \cdot 3)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.10.1.4

Fatore $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ de $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2}) + 8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (25 \cdot 3)$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 25 \cdot 3)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.10.2

Multiplique $25$ por $3$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.11

Multiplique $4 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}$ .

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Etapa 3.14.3.11.1

Combine $4$ e $\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + \frac{4 (8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.11.2

Multiplique $8$ por $4$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + \frac{32 ({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.12

Para escrever $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x \cdot \frac{3}{3} + \frac{32 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.13

Combine $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x \cdot 3}{3} + \frac{32 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x \cdot 3 + 32 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.15

Reescreva $\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x \cdot 3 + 32 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 3.14.3.15.1

Fatore $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ de $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x \cdot 3 + 32 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)$ .

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Etapa 3.14.3.15.1.1

Reordene a expressão.

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Etapa 3.14.3.15.1.1.1

Mova ${(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{\frac{8 x \cdot 3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} + 32 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.15.1.1.2

Mova $x$ .

$\frac{\frac{8 \cdot 3 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} + 32 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.15.1.1.3

Mova ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\frac{8 \cdot 3 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} + 32 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (- x^{2} + 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.15.1.2

Fatore $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ de $8 \cdot 3 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{3}}) + 32 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (- x^{2} + 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.15.1.3

Fatore $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ de $32 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (- x^{2} + 75)$ .

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{3}}) + 8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (4 (- x^{2} + 75))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.15.1.4

Fatore $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ de $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{3}}) + 8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (4 (- x^{2} + 75))$ .

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{3}} + 4 (- x^{2} + 75))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.15.2

Divida $3$ por $3$ .

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 {(x^{2} - 25)}^{1} + 4 (- x^{2} + 75))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.15.3

Simplifique.

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 (x^{2} - 25) + 4 (- x^{2} + 75))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.15.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 x^{2} + 3 \cdot - 25 + 4 (- x^{2} + 75))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.15.5

Multiplique $3$ por $- 25$ .

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 x^{2} - 75 + 4 (- x^{2} + 75))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.15.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 x^{2} - 75 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.15.7

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 x^{2} - 75 - 4 x^{2} + 4 \cdot 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.15.8

Multiplique $4$ por $75$ .

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 x^{2} - 75 - 4 x^{2} + 300)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.15.9

Subtraia $4 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} - 75 + 300)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.15.10

Some $- 75$ e $300$ .

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 225)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.15.11

Reescreva $- x^{2} + 225$ em uma forma fatorada.

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Etapa 3.14.3.15.11.1

Reescreva $225$ como $15^{2}$ .

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 15^{2})}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.15.11.2

Reordene $- x^{2}$ e $15^{2}$ .

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (15^{2} - x^{2})}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.3.15.11.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 15$ e $b = x$ .

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x ((15 + x) (15 - x))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (15 + x) (15 - x)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.4

Combine os termos.

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Etapa 3.14.4.1

Reescreva $\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (15 + x) (15 - x)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$ como um produto.

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (15 + x) (15 - x)}{3} \cdot \frac{1}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.4.2

Multiplique $\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (15 + x) (15 - x)}{3}$ por $\frac{1}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (15 + x) (15 - x)}{3 (9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}})}$

Etapa 3.14.4.3

Multiplique $9$ por $3$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (15 + x) (15 - x)}{27 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.4.4

Mova ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{8 x (15 + x) (15 - x)}{27 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}} {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}}$

Etapa 3.14.4.5

Multiplique ${(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}$ por ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.14.4.5.1

Mova ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{8 x (15 + x) (15 - x)}{27 ({(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}})}$

Etapa 3.14.4.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{8 x (15 + x) (15 - x)}{27 {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3} + \frac{8}{3}}}$

Etapa 3.14.4.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8 x (15 + x) (15 - x)}{27 {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1 + 8}{3}}}$

Etapa 3.14.4.5.4

Some $- 1$ e $8$ .

$f''' (x) = \frac{8 x (15 + x) (15 - x)}{27 {(x^{2} - 25)}^{\frac{7}{3}}}$