Cálculo Exemplos

$s = \frac{t^{2} + 5 t - 1}{t^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t^{2} + 5 t - 1$ e $g (t) = t^{2}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 1] - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(t^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 1] - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 1] - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 1.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} + 5 t - 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{t^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 1.2.4

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 t$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t^{2} (2 t + 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{t^{2} (2 t + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 1.2.6

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{t^{2} (2 t + 5 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 1.2.7

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{t^{2} (2 t + 5 + 0) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 1.2.8

Some $2 t + 5$ e $0$ .

$\frac{t^{2} (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{t^{2} (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t - 1) (2 t)}{t^{4}}$

Etapa 1.2.10

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{t^{2} (2 t + 5) - 2 (t^{2} + 5 t - 1) t}{t^{4}}$

Etapa 1.2.10.2

Fatore $t$ de $t^{2} (2 t + 5) - 2 (t^{2} + 5 t - 1) t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.2.1

Fatore $t$ de $t^{2} (2 t + 5)$ .

$\frac{t (t (2 t + 5)) - 2 (t^{2} + 5 t - 1) t}{t^{4}}$

Etapa 1.2.10.2.2

Fatore $t$ de $- 2 (t^{2} + 5 t - 1) t$ .

$\frac{t (t (2 t + 5)) + t (- 2 (t^{2} + 5 t - 1))}{t^{4}}$

Etapa 1.2.10.2.3

Fatore $t$ de $t (t (2 t + 5)) + t (- 2 (t^{2} + 5 t - 1))$ .

$\frac{t (t (2 t + 5) - 2 (t^{2} + 5 t - 1))}{t^{4}}$

Etapa 1.3

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $t$ de $t^{4}$ .

$\frac{t (t (2 t + 5) - 2 (t^{2} + 5 t - 1))}{t \cdot t^{3}}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{t (t (2 t + 5) - 2 (t^{2} + 5 t - 1))}{t \cdot t^{3}}$

Etapa 1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{t (2 t + 5) - 2 (t^{2} + 5 t - 1)}{t^{3}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t (2 t) + t \cdot 5 - 2 (t^{2} + 5 t - 1)}{t^{3}}$

Etapa 1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t (2 t) + t \cdot 5 - 2 t^{2} - 2 (5 t) - 2 \cdot - 1}{t^{3}}$

Etapa 1.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 t \cdot t + t \cdot 5 - 2 t^{2} - 2 (5 t) - 2 \cdot - 1}{t^{3}}$

Etapa 1.4.3.1.2

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.2.1

Mova $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t) + t \cdot 5 - 2 t^{2} - 2 (5 t) - 2 \cdot - 1}{t^{3}}$

Etapa 1.4.3.1.2.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{2 t^{2} + t \cdot 5 - 2 t^{2} - 2 (5 t) - 2 \cdot - 1}{t^{3}}$

Etapa 1.4.3.1.3

Mova $5$ para a esquerda de $t$ .

$\frac{2 t^{2} + 5 \cdot t - 2 t^{2} - 2 (5 t) - 2 \cdot - 1}{t^{3}}$

Etapa 1.4.3.1.4

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$\frac{2 t^{2} + 5 t - 2 t^{2} - 10 t - 2 \cdot - 1}{t^{3}}$

Etapa 1.4.3.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 t^{2} + 5 t - 2 t^{2} - 10 t + 2}{t^{3}}$

Etapa 1.4.3.2

Combine os termos opostos em $2 t^{2} + 5 t - 2 t^{2} - 10 t + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1

Subtraia $2 t^{2}$ de $2 t^{2}$ .

$\frac{5 t + 0 - 10 t + 2}{t^{3}}$

Etapa 1.4.3.2.2

Some $5 t$ e $0$ .

$\frac{5 t - 10 t + 2}{t^{3}}$

Etapa 1.4.3.3

Subtraia $10 t$ de $5 t$ .

$\frac{- 5 t + 2}{t^{3}}$

Etapa 1.4.4

Fatore $- 1$ de $- 5 t$ .

$\frac{- (5 t) + 2}{t^{3}}$

Etapa 1.4.5

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (5 t) - 1 (- 2)}{t^{3}}$

Etapa 1.4.6

Fatore $- 1$ de $- (5 t) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (5 t - 2)}{t^{3}}$

Etapa 1.4.7

Reescreva $- (5 t - 2)$ como $- 1 (5 t - 2)$ .

$\frac{- 1 (5 t - 2)}{t^{3}}$

Etapa 1.4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (t) = - \frac{5 t - 2}{t^{3}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = - 1$ e $g (t) = \frac{5 t - 2}{t^{3}}$ .

$- \frac{d}{d t} [\frac{5 t - 2}{t^{3}}] + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.2

$- \frac{t^{3} \frac{d}{d t} [5 t - 2] - (5 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{{(t^{3})}^{2}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique os expoentes em ${(t^{3})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{t^{3} \frac{d}{d t} [5 t - 2] - (5 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{3 \cdot 2}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{t^{3} \frac{d}{d t} [5 t - 2] - (5 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 t - 2$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$- \frac{t^{3} (\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 2]) - (5 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.3

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 t$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{t^{3} (5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]) - (5 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{t^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2]) - (5 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$- \frac{t^{3} (5 + \frac{d}{d t} [- 2]) - (5 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.6

Como $- 2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 2$ em relação a $t$ é $0$ .

$- \frac{t^{3} (5 + 0) - (5 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Some $5$ e $0$ .

$- \frac{t^{3} \cdot 5 - (5 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.7.2

Mova $5$ para a esquerda de $t^{3}$ .

$- \frac{5 \cdot t^{3} - (5 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- \frac{5 t^{3} - (5 t - 2) (3 t^{2})}{t^{6}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.9

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.9.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- \frac{5 t^{3} - 3 (5 t - 2) t^{2}}{t^{6}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.9.2

Fatore $t^{2}$ de $5 t^{3} - 3 (5 t - 2) t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.9.2.1

Fatore $t^{2}$ de $5 t^{3}$ .

$- \frac{t^{2} (5 t) - 3 (5 t - 2) t^{2}}{t^{6}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.9.2.2

Fatore $t^{2}$ de $- 3 (5 t - 2) t^{2}$ .

$- \frac{t^{2} (5 t) + t^{2} (- 3 (5 t - 2))}{t^{6}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.9.2.3

Fatore $t^{2}$ de $t^{2} (5 t) + t^{2} (- 3 (5 t - 2))$ .

$- \frac{t^{2} (5 t - 3 (5 t - 2))}{t^{6}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Fatore $t^{2}$ de $t^{6}$ .

$- \frac{t^{2} (5 t - 3 (5 t - 2))}{t^{2} t^{4}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.4.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{t^{2} (5 t - 3 (5 t - 2))}{t^{2} t^{4}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.4.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{5 t - 3 (5 t - 2)}{t^{4}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1$ em relação a $t$ é $0$ .

$- \frac{5 t - 3 (5 t - 2)}{t^{4}} + \frac{5 t - 2}{t^{3}} \cdot 0$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Multiplique $\frac{5 t - 2}{t^{3}}$ por $0$ .

$- \frac{5 t - 3 (5 t - 2)}{t^{4}} + 0$

Etapa 2.6.2

Some $- \frac{5 t - 3 (5 t - 2)}{t^{4}}$ e $0$ .

$- \frac{5 t - 3 (5 t - 2)}{t^{4}}$

Etapa 2.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{5 t - 3 (5 t) - 3 \cdot - 2}{t^{4}}$

Etapa 2.7.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1.1

Multiplique $5$ por $- 3$ .

$- \frac{5 t - 15 t - 3 \cdot - 2}{t^{4}}$

Etapa 2.7.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$- \frac{5 t - 15 t + 6}{t^{4}}$

Etapa 2.7.2.2

Subtraia $15 t$ de $5 t$ .

$- \frac{- 10 t + 6}{t^{4}}$

Etapa 2.7.3

Fatore $2$ de $- 10 t + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.3.1

Fatore $2$ de $- 10 t$ .

$- \frac{2 (- 5 t) + 6}{t^{4}}$

Etapa 2.7.3.2

Fatore $2$ de $6$ .

$- \frac{2 (- 5 t) + 2 (3)}{t^{4}}$

Etapa 2.7.3.3

Fatore $2$ de $2 (- 5 t) + 2 (3)$ .

$- \frac{2 (- 5 t + 3)}{t^{4}}$

Etapa 2.7.4

Fatore $- 1$ de $- 5 t$ .

$- \frac{2 (- (5 t) + 3)}{t^{4}}$

Etapa 2.7.5

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$- \frac{2 (- (5 t) - 1 (- 3))}{t^{4}}$

Etapa 2.7.6

Fatore $- 1$ de $- (5 t) - 1 (- 3)$ .

$- \frac{2 (- (5 t - 3))}{t^{4}}$

Etapa 2.7.7

Reescreva $- (5 t - 3)$ como $- 1 (5 t - 3)$ .

$- \frac{2 (- 1 (5 t - 3))}{t^{4}}$

Etapa 2.7.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{2 (5 t - 3)}{t^{4}}$

Etapa 2.7.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{2 (5 t - 3)}{t^{4}}$

Etapa 2.7.10

Multiplique $\frac{2 (5 t - 3)}{t^{4}}$ por $1$ .

$f'' (t) = \frac{2 (5 t - 3)}{t^{4}}$