Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

Etapa 1

Se $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$ , então pelo menos um número real $c$ existirá no intervalo $(a, b)$ , de modo que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em $x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Se $f (x)$ for contínuo em $[a, b]$

e se $f (x)$ for diferenciável em $(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto, $c$ em $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 2

Verifique se $f (x) = 5 \sqrt{x}$ é contínua.

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Etapa 2.1

Para saber se a função é contínua em $[4, 9]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = 5 \sqrt{x}$ .

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Etapa 2.1.1

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 2.1.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Etapa 2.2

$f (x)$ é contínuo em $[4, 9]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 3.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 3.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 3.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 3.1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 3.1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 3.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 3.1.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3.1.10

Combine $5$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{5 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3.1.11

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4

Determine se a derivada é contínua em $(4, 9)$ .

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Etapa 4.1

Para saber se a função é contínua em $(4, 9)$ ou não, encontre o domínio de $f' (x) = \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 4.1.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 4.1.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{5}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Etapa 4.1.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{5}{2 \sqrt{x}}$

Etapa 4.1.2

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 4.1.3

Defina o denominador em $\frac{5}{2 \sqrt{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 \sqrt{x} = 0$

Etapa 4.1.4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1.4.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.1.4.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 4.1.4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.1.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1.4.2.2.1

Simplifique ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.1.4.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.1.4.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.1.4.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.1.4.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.1.4.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.4.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.1.4.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Etapa 4.1.4.2.2.1.4

Simplifique.

$4 x = 0^{2}$

Etapa 4.1.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1.4.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 x = 0$

Etapa 4.1.4.3

Divida cada termo em $4 x = 0$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 4.1.4.3.1

Divida cada termo em $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 4.1.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 4.1.4.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Etapa 4.1.4.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1.4.3.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x = 0$

Etapa 4.1.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Etapa 4.2

$f' (x)$ é contínuo em $(4, 9)$ .

A função é contínua.

Etapa 5

A função é diferenciável em $(4, 9)$ , porque a derivada é contínua em $(4, 9)$ .

A função é diferenciável.

Etapa 6

$f (x)$ satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em $[4, 9]$ e diferenciável em $(4, 9)$ .

$f (x)$ é contínuo em $[4, 9]$ e diferenciável em $(4, 9)$ .

Etapa 7

Avalie $f (a)$ a partir do intervalo $[4, 9]$ .

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = 5 \sqrt{4}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Remova os parênteses.

$f (4) = 5 \sqrt{4}$

Etapa 7.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (4) = 5 \sqrt{2^{2}}$

Etapa 7.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (4) = 5 \cdot 2$

Etapa 7.2.4

Multiplique $5$ por $2$ .

$f (4) = 10$

Etapa 7.2.5

A resposta final é $10$ .

$10$

Etapa 8

Avalie $f (b)$ a partir do intervalo $[4, 9]$ .

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $9$ na expressão.

$f (9) = 5 \sqrt{9}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Remova os parênteses.

$f (9) = 5 \sqrt{9}$

Etapa 8.2.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f (9) = 5 \sqrt{3^{2}}$

Etapa 8.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (9) = 5 \cdot 3$

Etapa 8.2.4

Multiplique $5$ por $3$ .

$f (9) = 15$

Etapa 8.2.5

A resposta final é $15$ .

$15$

Etapa 9

Resolva $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ para $x$ . $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (9) + f (4))}{- (9 + 4)}$ .

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Etapa 9.1

Fatore cada termo.

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Etapa 9.1.1

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{15 - 10}{(9) - (4)}$

Etapa 9.1.2

Subtraia $10$ de $15$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{5}{(9) - (4)}$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{5}{9 - 4}$

Etapa 9.1.4

Subtraia $4$ de $9$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{5}{5}$

Etapa 9.1.5

Divida $5$ por $5$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 1$

Etapa 9.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 9.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2 x^{\frac{1}{2}}, 1$

Etapa 9.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$2 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 9.3

Multiplique cada termo em $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 1$ por $2 x^{\frac{1}{2}}$ para eliminar as frações.

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Etapa 9.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 1$ por $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.2.3

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 9.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.2.3.2

Reescreva a expressão.

$5 = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.3.1

Multiplique $2 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$5 = 2 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 9.4

Resolva a equação.

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Etapa 9.4.1

Reescreva a equação como $2 x^{\frac{1}{2}} = 5$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} = 5$

Etapa 9.4.2

Divida cada termo em $2 x^{\frac{1}{2}} = 5$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 9.4.2.1

Divida cada termo em $2 x^{\frac{1}{2}} = 5$ por $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{5}{2}$

Etapa 9.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{5}{2}$

Etapa 9.4.2.2.2

Divida $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{5}{2}$

Etapa 9.4.3

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 9.4.4

Simplifique o expoente.

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Etapa 9.4.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.4.4.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 9.4.4.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 9.4.4.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 9.4.4.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.4.4.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 9.4.4.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = {(\frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 9.4.4.1.1.2

Simplifique.

$x = {(\frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 9.4.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.4.2.1

Simplifique ${(\frac{5}{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.4.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$x = \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Etapa 9.4.4.2.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$x = \frac{25}{2^{2}}$

Etapa 9.4.4.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{25}{4}$

Etapa 10

Existe uma reta tangente em $x = \frac{25}{4}$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = 4$ e $b = 9$

Etapa 11