Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{x (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.7

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1)}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - (x^{2} - 2 x + 1)}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 \cdot x - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.2

Combine os termos opostos em $2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.2.1

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 0 - 1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.2.2

Some $2 x^{2} - x^{2}$ e $0$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.3

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$(x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.3.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4

Avalie $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1}{- 1}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{{(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$

Etapa 4.1.2.1.2

Reescreva $- 1 \cdot ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$ como $- ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$ .

$- ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- (1 - 2 \cdot - 1 + 1)$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$- (1 + 2 + 1)$

Etapa 4.1.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Some $1$ e $2$ .

$- (3 + 1)$

Etapa 4.1.2.3.2

Some $3$ e $1$ .

$- 1 \cdot 4$

Etapa 4.1.2.3.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

$\frac{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1}{1}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Divida ${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1$ por $1$ .

${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 2 \cdot 1 + 1$

Etapa 4.2.2.2.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$1 - 2 + 1$

Etapa 4.2.2.3

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1

Subtraia $2$ de $1$ .

$- 1 + 1$

Etapa 4.2.2.3.2

Some $- 1$ e $1$ .

$0$

Etapa 4.3

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 1}{0}$

Etapa 4.3.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(- 1, - 4), (1, 0)$

Etapa 5