Cálculo Exemplos

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 3 + 8$

Etapa 1

Simplifique a soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $3$ e $8$ .

$2 i^{2} - i + 11$

Etapa 1.2

Reescreva a soma.

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 11$

Etapa 2

Divida a soma para tornar o valor inicial de $i$ igual a $1$ .

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 11 = \sum_{i = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11 - \sum_{i = 1}^{4} 2 i^{2} - i + 11$

Etapa 3

Avalie $\sum_{i = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{k = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11 = 2 \sum_{k = 1}^{24} i^{2} - 1 \sum_{k = 1}^{24} i + \sum_{k = 1}^{24} 11$

Etapa 3.2

Avalie $2 \sum_{k = 1}^{24} i^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $2$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Etapa 3.2.2

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(2) (\frac{24 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1)}{6})$

Etapa 3.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1

Some $24$ e $1$ .

$2 \frac{24 \cdot 25 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

Etapa 3.2.3.1.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.2.1

Multiplique $24$ por $25$ .

$2 \frac{600 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

Etapa 3.2.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $24$ .

$2 \frac{600 (48 + 1)}{6}$

Etapa 3.2.3.1.3

Some $48$ e $1$ .

$2 \frac{600 \cdot 49}{6}$

Etapa 3.2.3.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.1

Multiplique $600$ por $49$ .

$2 (\frac{29400}{6})$

Etapa 3.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$2 \frac{29400}{2 (3)}$

Etapa 3.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{29400}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{29400}{3}$

Etapa 3.2.3.2.3

Divida $29400$ por $3$ .

$9800$

Etapa 3.3

Avalie $1 \sum_{k = 1}^{24} i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $1$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Etapa 3.3.2

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(- 1) (\frac{24 (24 + 1)}{2})$

Etapa 3.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Some $24$ e $1$ .

$- 1 \frac{24 \cdot 25}{2}$

Etapa 3.3.3.2

Multiplique $24$ por $25$ .

$- 1 (\frac{600}{2})$

Etapa 3.3.3.3

Divida $600$ por $2$ .

$- 1 \cdot 300$

Etapa 3.3.3.4

Multiplique $- 1$ por $300$ .

$- 300$

Etapa 3.4

Avalie $\sum_{k = 1}^{24} 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

A fórmula da soma de uma constante é:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Etapa 3.4.2

Substitua os valores na fórmula.

$(11) (24)$

Etapa 3.4.3

Multiplique $11$ por $24$ .

$264$

Etapa 3.5

Adicione os resultados das somas.

$9800 - 300 + 264$

Etapa 3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Subtraia $300$ de $9800$ .

$9500 + 264$

Etapa 3.6.2

Some $9500$ e $264$ .

$9764$

Etapa 4

Avalie $\sum_{i = 1}^{4} 2 i^{2} - i + 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Expanda a série para cada valor de $i$ .

$2 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Etapa 4.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 - 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Etapa 4.2.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Etapa 4.2.5

Some $1$ e $11$ .

$12 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Etapa 4.2.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$12 + 2 \cdot 4 - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Etapa 4.2.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$12 + 8 - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Etapa 4.2.8

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$12 + 8 - 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Etapa 4.2.9

Subtraia $2$ de $8$ .

$12 + 6 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Etapa 4.2.10

Some $6$ e $11$ .

$12 + 17 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Etapa 4.2.11

Some $12$ e $17$ .

$29 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Etapa 4.2.12

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$29 + 2 \cdot 9 - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Etapa 4.2.13

Multiplique $2$ por $9$ .

$29 + 18 - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Etapa 4.2.14

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$29 + 18 - 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Etapa 4.2.15

Subtraia $3$ de $18$ .

$29 + 15 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Etapa 4.2.16

Some $15$ e $11$ .

$29 + 26 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Etapa 4.2.17

Some $29$ e $26$ .

$55 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Etapa 4.2.18

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$55 + 2 \cdot 16 - 1 \cdot 4 + 11$

Etapa 4.2.19

Multiplique $2$ por $16$ .

$55 + 32 - 1 \cdot 4 + 11$

Etapa 4.2.20

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$55 + 32 - 4 + 11$

Etapa 4.2.21

Subtraia $4$ de $32$ .

$55 + 28 + 11$

Etapa 4.2.22

Some $28$ e $11$ .

$55 + 39$

Etapa 4.2.23

Some $55$ e $39$ .

$94$

Etapa 5

Substitua as somas pelos valores encontrados.

$9764 - 94$

Etapa 6

Subtraia $94$ de $9764$ .

$9670$