Cálculo Exemplos

$\frac{x + 9}{x^{2} - 81}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x + 9}{x^{2} - 81}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 81}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 9$ e $g (x) = x^{2} - 81$ .

$\frac{(x^{2} - 81) \frac{d}{d x} [x + 9] - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (1 + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (1 + 0) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - 81) \cdot 1 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.2

Multiplique $x^{2} - 81$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 81$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.7

Como $- 81$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 81$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.8.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.8.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 (x + 9) x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Etapa 2.1.3

Simplifique.

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Etapa 2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 81 + (- 2 x - 2 \cdot 9) x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.3.3.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x^{2} - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.1.2

Multiplique $- 2$ por $9$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x^{2} - 18 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.2

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 81 - 18 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.4

Reordene os termos.

$\frac{- x^{2} - 18 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.5

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1.3.5.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ e cuja soma é $b = - 18$ .

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Etapa 2.1.3.5.1.1

Fatore $- 18$ de $- 18 x$ .

$\frac{- x^{2} - 18 (x) - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.5.1.2

Reescreva $- 18$ como $- 9$ mais $- 9$

$\frac{- x^{2} + (- 9 - 9) x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} - 9 x - 9 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.3.5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- x^{2} - 9 x) - 9 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (- x - 9) + 9 (- x - 9)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 9$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.3.6.1

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x^{2} - 9^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.3.6.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 9$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{((x + 9) (x - 9))}^{2}}$

Etapa 2.1.3.6.3

Aplique a regra do produto a $(x + 9) (x - 9)$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.3.7.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.7.2

Reescreva $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (9)) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.7.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (9)$ .

$\frac{- (x + 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.7.4

Reescreva $- (x + 9)$ como $- 1 (x + 9)$ .

$\frac{- 1 (x + 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.7.5

Eleve $x + 9$ à potência de $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 9)}^{1} (x + 9))}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.7.6

Eleve $x + 9$ à potência de $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 9)}^{1} {(x + 9)}^{1})}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.7.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{1 + 1}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.7.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{2}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.8

Cancele o fator comum de ${(x + 9)}^{2}$ .

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Etapa 2.1.3.8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{2}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.8.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Etapa 3.3

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 4

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 5

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 5.1

Defina o denominador em $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 9)}^{2} = 0$

Etapa 5.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.2.1

Defina $x - 9$ como igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Etapa 5.2.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x = 9$

Etapa 6

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 81}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$ .

$(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 9)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f' (8) = - \frac{1}{{((8) - 9)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.1.1

Subtraia $9$ de $8$ .

$f' (8) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (8) = - \frac{1}{1}$

Etapa 7.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (8) = - \frac{1}{1}$

Etapa 7.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$f' (8) = - 1 \cdot 1$

Etapa 7.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (8) = - 1$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 7.3

Em $x = 8$ , a derivada é $- 1$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 9)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 9)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(9, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $10$ na expressão.

$f' (10) = - \frac{1}{{((10) - 9)}^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Subtraia $9$ de $10$ .

$f' (10) = - \frac{1}{1^{2}}$

Etapa 8.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (10) = - \frac{1}{1}$

Etapa 8.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 8.2.2.1

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (10) = - \frac{1}{1}$

Etapa 8.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$f' (10) = - 1 \cdot 1$

Etapa 8.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (10) = - 1$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 8.3

Em $x = 10$ , a derivada é $- 1$ . Por ser negativa, a função diminui em $(9, \infty)$ .

Decréscimo em $(9, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Decréscimo em: $(- \infty, 9), (9, \infty)$

Etapa 10