Cálculo Exemplos

$x - 3 \sqrt[3]{x}$

Etapa 1

Escreva $x - 3 \sqrt[3]{x}$ como uma função.

$f (x) = x - 3 \sqrt[3]{x}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3 \sqrt[3]{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sqrt[3]{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sqrt[3]{x}]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3 \sqrt[3]{x}]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 \sqrt[3]{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 2.1.2.2

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 - 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 2.1.2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 2.1.2.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 2.1.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 2.1.2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 2.1.2.7.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 2.1.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 2.1.2.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 - 3 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 2.1.2.10

Combine $- 3$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$1 + \frac{- 3 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 2.1.2.11

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.2.12

Fatore $3$ de $- 3$ .

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.2.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.13.1

Fatore $3$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 2.1.2.13.2

Cancele o fator comum.

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.2.13.3

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.2.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = - 1$

Etapa 3.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{\frac{2}{3}}, 1$

Etapa 3.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = - 1$ por $x^{\frac{2}{3}}$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.4.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = - 1$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = - x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $- x^{\frac{2}{3}} = - 1$ .

$- x^{\frac{2}{3}} = - 1$

Etapa 3.5.2

Divida cada termo em $- x^{\frac{2}{3}} = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Divida cada termo em $- x^{\frac{2}{3}} = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{\frac{2}{3}}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.5.2.2.2

Divida $x^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 1$

Etapa 3.5.3

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{3}{2}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5.4

Simplifique o expoente.

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Etapa 3.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5.4.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5.4.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5.4.1.1.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5.4.1.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5.4.1.1.2

Simplifique.

$x = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.4.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \pm 1$

Etapa 3.5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 3.5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 3.5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $1, - 1$ .

$1, - 1$

Etapa 5

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 5.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$1 - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Etapa 5.2

Defina o denominador em $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Etapa 5.3

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Etapa 5.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 5.3.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 5.3.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} = 0^{3}$

Etapa 5.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 5.3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 5.3.3.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 5.3.3.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 5.3.3.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 6

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = 1 - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 7.2

A resposta final é $1 - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 7.3

Em $x = - 2$ , a derivada é $1 - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 1)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 1)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(- 1, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{2}$ na expressão.

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- \frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.2.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 8.2.1.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 8.2.1.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Etapa 8.2.1.1.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Etapa 8.2.1.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Etapa 8.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Etapa 8.2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- 1)}^{2} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Etapa 8.2.1.1.5

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{1 (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Etapa 8.2.1.1.6

Multiplique $\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}}$

Etapa 8.2.1.1.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - (1 \cdot 2^{\frac{2}{3}})$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $2^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - 2^{\frac{2}{3}}$

Etapa 8.2.2

A resposta final é $1 - 2^{\frac{2}{3}}$ .

$1 - 2^{\frac{2}{3}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

$- 0.58740105$

Etapa 8.4

Em $x = - \frac{1}{2}$ , a derivada é $- 0.58740105$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 1, 0)$ .

Decréscimo em $(- 1, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(0, 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{2}$ na expressão.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}}$

Etapa 9.2.1.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}}$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - (1 \cdot 2^{\frac{2}{3}})$

Etapa 9.2.1.3

Multiplique $2^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - 2^{\frac{2}{3}}$

Etapa 9.2.2

A resposta final é $1 - 2^{\frac{2}{3}}$ .

$1 - 2^{\frac{2}{3}}$

Etapa 9.3

Simplifique.

$- 0.58740105$

Etapa 9.4

Em $x = \frac{1}{2}$ , a derivada é $- 0.58740105$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 1)$ .

Decréscimo em $(0, 1)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 10

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 1 - \frac{1}{{(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Remova os parênteses.

$f' (2) = 1 - \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.2.2

A resposta final é $1 - \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.3

Simplifique.

$0.37003947$

Etapa 10.4

Em $x = 2$ , a derivada é $0.37003947$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(1, \infty)$ .

Acréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 11

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(1, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, - 1), (- 1, 0), (0, 1)$

Etapa 12