Cálculo Exemplos

$y = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ , $y = x^{2} - 3$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{4} - 4 x^{2} + 1 = x^{2} - 3$

Etapa 1.2

Resolva $x^{4} - 4 x^{2} + 1 = x^{2} - 3$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$x^{4} - 4 x^{2} + 1 - x^{2} = - 3$

Etapa 1.2.1.2

Subtraia $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$x^{4} - 5 x^{2} + 1 = - 3$

Etapa 1.2.2

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$u^{2} - 5 u + 1 = - 3$

$u = x^{2} + y = x^{2} - 3$

Etapa 1.2.3

Some $3$ aos dois lados da equação.

$u^{2} - 5 u + 1 + 3 = 0$

Etapa 1.2.4

Some $1$ e $3$ .

$u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Etapa 1.2.5

Fatore $u^{2} - 5 u + 4$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $4$ e cuja soma é $- 5$ .

$- 4, - 1 + y = x^{2} - 3$

Etapa 1.2.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 4) (u - 1) = 0$

Etapa 1.2.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

$u - 1 = 0 + y = x^{2} - 3$

Etapa 1.2.7

Defina $u - 4$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 1.2.7.1

Defina $u - 4$ como igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

Etapa 1.2.7.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$u = 4$

Etapa 1.2.8

Defina $u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1

Defina $u - 1$ como igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Etapa 1.2.8.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u = 1$

Etapa 1.2.9

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 4) (u - 1) = 0$ verdadeiro.

$u = 4, 1$

Etapa 1.2.10

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = 4$

$x^{2} = 1 + y = x^{2} - 3$

Etapa 1.2.11

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = 4$

Etapa 1.2.12

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 1.2.12.2

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.12.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 1.2.12.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 1.2.12.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.12.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 1.2.12.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 1.2.12.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 1.2.13

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Etapa 1.2.14

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 1.2.14.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = 1$

Etapa 1.2.14.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 1.2.14.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 1.2.14.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.14.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 1.2.14.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 1.2.14.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 1.2.15

A solução para $x^{4} - 5 x^{2} + 1 = - 3$ é $x = 2, - 2, 1, - 1$ .

$x = 2, - 2, 1, - 1$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 2$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $2$ por $x$ .

$y = {(2)}^{2} - 3$

Etapa 1.3.2

Substitua $2$ por $x$ em $y = {(2)}^{2} - 3$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 2^{2} - 3$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $2^{2} - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = 4 - 3$

Etapa 1.3.2.2.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$y = 1$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = {(1)}^{2} - 3$

Etapa 1.4.2

Substitua $1$ por $x$ em $y = {(1)}^{2} - 3$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = 1^{2} - 3$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique $1^{2} - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = 1 - 3$

Etapa 1.4.2.2.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$y = - 2$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(2, 1)$

$(- 2, 1)$

$(1, - 2)$

$(- 1, - 2)$

$(2, 1)$

$(- 2, 1)$

$(1, - 2)$

$(- 1, - 2)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 2}^{- 1} x^{2} - 3 d x - \int_{- 2}^{- 1} x^{4} - 4 x^{2} + 1 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 2$ e $- 1$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 2}^{- 1} x^{2} - 3 - (x^{4} - 4 x^{2} + 1) d x$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 3 - x^{4} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 1$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x^{2} - 3 - x^{4} + 4 x^{2} - 1 \cdot 1$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x^{2} - 3 - x^{4} + 4 x^{2} - 1$

$\int_{- 2}^{- 1} x^{2} - 3 - x^{4} + 4 x^{2} - 1 d x$

Etapa 3.3

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.3.1

Some $x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$5 x^{2} - 3 - x^{4} - 1$

Etapa 3.3.2

Subtraia $1$ de $- 3$ .

$5 x^{2} - x^{4} - 4$

$\int_{- 2}^{- 1} 5 x^{2} - x^{4} - 4 d x$

Etapa 3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 2}^{- 1} 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{- 1} - x^{4} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Etapa 3.5

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int_{- 2}^{- 1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{- 1} - x^{4} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - x^{4} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Etapa 3.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - x^{4} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Etapa 3.8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - \int_{- 2}^{- 1} x^{4} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Etapa 3.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Etapa 3.10

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Etapa 3.11

Aplique a regra da constante.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{- 1}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1}$

Etapa 3.12

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.12.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $- 1$ e em $- 2$ .

$5 ((\frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{- 1}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1}$

Etapa 3.12.2

Avalie $\frac{x^{5}}{5}$ em $- 1$ e em $- 2$ .

$5 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1}$

Etapa 3.12.3

Avalie $- 4 x$ em $- 1$ e em $- 2$ .

$5 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$5 (\frac{- 1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5 (- \frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.3

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$5 (- \frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5 (- \frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$5 (- \frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.6

Multiplique $\frac{8}{3}$ por $1$ .

$5 (- \frac{1}{3} + \frac{8}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 \frac{- 1 + 8}{3} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.8

Some $- 1$ e $8$ .

$5 (\frac{7}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.9

Combine $5$ e $\frac{7}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{3} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.10

Multiplique $5$ por $7$ .

$\frac{35}{3} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.11

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$\frac{35}{3} - (\frac{- 1}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{35}{3} - (- \frac{1}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.13

Eleve $- 2$ à potência de $5$ .

$\frac{35}{3} - (- \frac{1}{5} - \frac{- 32}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{35}{3} - (- \frac{1}{5} - - \frac{32}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.15

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{35}{3} - (- \frac{1}{5} + 1 (\frac{32}{5})) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.16

Multiplique $\frac{32}{5}$ por $1$ .

$\frac{35}{3} - (- \frac{1}{5} + \frac{32}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{35}{3} - \frac{- 1 + 32}{5} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.18

Some $- 1$ e $32$ .

$\frac{35}{3} - \frac{31}{5} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.19

Para escrever $\frac{35}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{35}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{31}{5} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.20

Para escrever $- \frac{31}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.21

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.21.1

Multiplique $\frac{35}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{35 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.21.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.21.3

Multiplique $\frac{31}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31 \cdot 3}{5 \cdot 3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.21.4

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.22

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{35 \cdot 5 - 31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.23

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.23.1

Multiplique $35$ por $5$ .

$\frac{175 - 31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.23.2

Multiplique $- 31$ por $3$ .

$\frac{175 - 93}{15} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.23.3

Subtraia $93$ de $175$ .

$\frac{82}{15} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.24

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{82}{15} + 4 + 4 \cdot - 2$

Etapa 3.12.4.25

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$\frac{82}{15} + 4 - 8$

Etapa 3.12.4.26

Subtraia $8$ de $4$ .

$\frac{82}{15} - 4$

Etapa 3.12.4.27

Para escrever $- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{82}{15} - 4 \cdot \frac{15}{15}$

Etapa 3.12.4.28

Combine $- 4$ e $\frac{15}{15}$ .

$\frac{82}{15} + \frac{- 4 \cdot 15}{15}$

Etapa 3.12.4.29

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{82 - 4 \cdot 15}{15}$

Etapa 3.12.4.30

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.30.1

Multiplique $- 4$ por $15$ .

$\frac{82 - 60}{15}$

Etapa 3.12.4.30.2

Subtraia $60$ de $82$ .

$\frac{22}{15}$

Etapa 4

$A r e a = \int_{- 1}^{1} x^{4} - 4 x^{2} + 1 d x - \int_{- 1}^{1} x^{2} - 3 d x$

Etapa 5

Integre para encontrar a área entre $- 1$ e $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 1}^{1} x^{4} - 4 x^{2} + 1 - (x^{2} - 3) d x$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} - 4 x^{2} + 1 - x^{2} - - 3$

Etapa 5.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + 1 - x^{2} + 3$

$\int_{- 1}^{1} x^{4} - 4 x^{2} + 1 - x^{2} + 3 d x$

Etapa 5.3

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Subtraia $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$x^{4} - 5 x^{2} + 1 + 3$

Etapa 5.3.2

Some $1$ e $3$ .

$x^{4} - 5 x^{2} + 4$

$\int_{- 1}^{1} x^{4} - 5 x^{2} + 4 d x$

Etapa 5.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 5 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Etapa 5.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 5 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Etapa 5.6

Como $- 5$ é constante com relação a $x$ , mova $- 5$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} - 5 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Etapa 5.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} - 5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Etapa 5.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Etapa 5.9

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 4 x]_{- 1}^{1}$

Etapa 5.10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.1

Combine $\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1}$ e $4 x]_{- 1}^{1}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + 4 x]_{- 1}^{1} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Etapa 5.10.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.1

Avalie $\frac{1}{5} x^{5} + 4 x$ em $1$ e em $- 1$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 4 \cdot 1) - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Etapa 5.10.2.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $1$ e em $- 1$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 4 \cdot 1) - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 5.10.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + 4 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 5.10.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$\frac{1}{5} + 4 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 5.10.2.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{1}{5} + 4 - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 5.10.2.3.4

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 5.10.2.3.5

Combine $4$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 5.10.2.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 + 4 \cdot 5}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 5.10.2.3.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.3.7.1

Multiplique $4$ por $5$ .

$\frac{1 + 20}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 5.10.2.3.7.2

Some $1$ e $20$ .

$\frac{21}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 5.10.2.3.8

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$\frac{21}{5} - (\frac{1}{5} \cdot - 1 + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 5.10.2.3.9

Combine $\frac{1}{5}$ e $- 1$ .

$\frac{21}{5} - (\frac{- 1}{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 5.10.2.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{21}{5} - (- \frac{1}{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 5.10.2.3.11

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{21}{5} - (- \frac{1}{5} - 4) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 5.10.2.3.12

Para escrever $- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{21}{5} - (- \frac{1}{5} - 4 \cdot \frac{5}{5}) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 5.10.2.3.13

Combine $- 4$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{21}{5} - (- \frac{1}{5} + \frac{- 4 \cdot 5}{5}) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 5.10.2.3.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{21}{5} - \frac{- 1 - 4 \cdot 5}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 5.10.2.3.15

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.3.15.1

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$\frac{21}{5} - \frac{- 1 - 20}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 5.10.2.3.15.2

Subtraia $20$ de $- 1$ .

$\frac{21}{5} - \frac{- 21}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 5.10.2.3.16

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{21}{5} - - \frac{21}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 5.10.2.3.17

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{21}{5} + 1 (\frac{21}{5}) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 5.10.2.3.18

Multiplique $\frac{21}{5}$ por $1$ .

$\frac{21}{5} + \frac{21}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 5.10.2.3.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{21 + 21}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 5.10.2.3.20

Some $21$ e $21$ .

$\frac{42}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 5.10.2.3.21

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Etapa 5.10.2.3.22

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3})$

Etapa 5.10.2.3.23

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3})$

Etapa 5.10.2.3.24

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Etapa 5.10.2.3.25

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3})$

Etapa 5.10.2.3.26

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{42}{5} - 5 \frac{1 + 1}{3}$

Etapa 5.10.2.3.27

Some $1$ e $1$ .

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{2}{3})$

Etapa 5.10.2.3.28

Combine $- 5$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{42}{5} + \frac{- 5 \cdot 2}{3}$

Etapa 5.10.2.3.29

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$\frac{42}{5} + \frac{- 10}{3}$

Etapa 5.10.2.3.30

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{42}{5} - \frac{10}{3}$

Etapa 5.10.2.3.31

Para escrever $\frac{42}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{42}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3}$

Etapa 5.10.2.3.32

Para escrever $- \frac{10}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{42}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 5.10.2.3.33

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.10.2.3.33.1

Multiplique $\frac{42}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{42 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 5.10.2.3.33.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{42 \cdot 3}{15} - \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 5.10.2.3.33.3

Multiplique $\frac{10}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{42 \cdot 3}{15} - \frac{10 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Etapa 5.10.2.3.33.4

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{42 \cdot 3}{15} - \frac{10 \cdot 5}{15}$

Etapa 5.10.2.3.34

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{42 \cdot 3 - 10 \cdot 5}{15}$

Etapa 5.10.2.3.35

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.10.2.3.35.1

Multiplique $42$ por $3$ .

$\frac{126 - 10 \cdot 5}{15}$

Etapa 5.10.2.3.35.2

Multiplique $- 10$ por $5$ .

$\frac{126 - 50}{15}$

Etapa 5.10.2.3.35.3

Subtraia $50$ de $126$ .

$\frac{76}{15}$

Etapa 6

$A r e a = \int_{1}^{2} x^{2} - 3 d x - \int_{1}^{2} x^{4} - 4 x^{2} + 1 d x$

Etapa 7

Integre para encontrar a área entre $1$ e $2$ .

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Etapa 7.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{1}^{2} x^{2} - 3 - (x^{4} - 4 x^{2} + 1) d x$

Etapa 7.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 3 - x^{4} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 1$

Etapa 7.2.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x^{2} - 3 - x^{4} + 4 x^{2} - 1 \cdot 1$

Etapa 7.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x^{2} - 3 - x^{4} + 4 x^{2} - 1$

$\int_{1}^{2} x^{2} - 3 - x^{4} + 4 x^{2} - 1 d x$

Etapa 7.3

Simplifique somando os termos.

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Etapa 7.3.1

Some $x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$5 x^{2} - 3 - x^{4} - 1$

Etapa 7.3.2

Subtraia $1$ de $- 3$ .

$5 x^{2} - x^{4} - 4$

$\int_{1}^{2} 5 x^{2} - x^{4} - 4 d x$

Etapa 7.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{2} 5 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Etapa 7.5

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Etapa 7.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Etapa 7.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Etapa 7.8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - \int_{1}^{2} x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Etapa 7.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - (\frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Etapa 7.10

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Etapa 7.11

Aplique a regra da constante.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{2}) + - 4 x]_{1}^{2}$

Etapa 7.12

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.12.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $2$ e em $1$ .

$5 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{2}) + - 4 x]_{1}^{2}$

Etapa 7.12.2

Avalie $\frac{x^{5}}{5}$ em $2$ e em $1$ .

$5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + - 4 x]_{1}^{2}$

Etapa 7.12.3

Avalie $- 4 x$ em $2$ e em $1$ .

$5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Etapa 7.12.4

Simplifique.

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Etapa 7.12.4.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$5 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Etapa 7.12.4.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$5 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Etapa 7.12.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 \frac{8 - 1}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Etapa 7.12.4.4

Subtraia $1$ de $8$ .

$5 (\frac{7}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Etapa 7.12.4.5

Combine $5$ e $\frac{7}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Etapa 7.12.4.6

Multiplique $5$ por $7$ .

$\frac{35}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Etapa 7.12.4.7

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$\frac{35}{3} - (\frac{32}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Etapa 7.12.4.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{35}{3} - (\frac{32}{5} - \frac{1}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Etapa 7.12.4.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{35}{3} - \frac{32 - 1}{5} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Etapa 7.12.4.10

Subtraia $1$ de $32$ .

$\frac{35}{3} - \frac{31}{5} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Etapa 7.12.4.11

Para escrever $\frac{35}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{35}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{31}{5} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Etapa 7.12.4.12

Para escrever $- \frac{31}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Etapa 7.12.4.13

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.12.4.13.1

Multiplique $\frac{35}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{35 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Etapa 7.12.4.13.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Etapa 7.12.4.13.3

Multiplique $\frac{31}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31 \cdot 3}{5 \cdot 3} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Etapa 7.12.4.13.4

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Etapa 7.12.4.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{35 \cdot 5 - 31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Etapa 7.12.4.15

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.12.4.15.1

Multiplique $35$ por $5$ .

$\frac{175 - 31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Etapa 7.12.4.15.2

Multiplique $- 31$ por $3$ .

$\frac{175 - 93}{15} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Etapa 7.12.4.15.3

Subtraia $93$ de $175$ .

$\frac{82}{15} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Etapa 7.12.4.16

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{82}{15} - 8 + 4 \cdot 1$

Etapa 7.12.4.17

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{82}{15} - 8 + 4$

Etapa 7.12.4.18

Some $- 8$ e $4$ .

$\frac{82}{15} - 4$

Etapa 7.12.4.19

Para escrever $- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{82}{15} - 4 \cdot \frac{15}{15}$

Etapa 7.12.4.20

Combine $- 4$ e $\frac{15}{15}$ .

$\frac{82}{15} + \frac{- 4 \cdot 15}{15}$

Etapa 7.12.4.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{82 - 4 \cdot 15}{15}$

Etapa 7.12.4.22

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.12.4.22.1

Multiplique $- 4$ por $15$ .

$\frac{82 - 60}{15}$

Etapa 7.12.4.22.2

Subtraia $60$ de $82$ .

$\frac{22}{15}$

Etapa 8

Some as áreas $\frac{22}{15} + \frac{76}{15} + \frac{22}{15}$ .

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Etapa 8.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{22 + 76 + 22}{15}$

Etapa 8.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.2.1

Some $22$ e $76$ .

$\frac{98 + 22}{15}$

Etapa 8.2.2

Some $98$ e $22$ .

$\frac{120}{15}$

Etapa 8.2.3

Divida $120$ por $15$ .

$8$

Etapa 9