Cálculo Exemplos

$y = \frac{16}{x}$ , $y = x$ , $y = \frac{x}{4}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\frac{16}{x} = x$

Etapa 1.2

Resolva $\frac{16}{x} = x$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.2.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x, 1 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Etapa 1.2.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Etapa 1.2.2

Multiplique cada termo em $\frac{16}{x} = x$ por $x$ para eliminar as frações.

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Etapa 1.2.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{16}{x} = x$ por $x$ .

$\frac{16}{x} \cdot x = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16}{x} \cdot x = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$16 = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$16 = x^{2} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x^{2} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x^{2} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação.

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Etapa 1.2.3.1

Reescreva a equação como $x^{2} = 16$ .

$x^{2} = 16 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Etapa 1.2.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique $\pm \sqrt{16}$ .

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Etapa 1.2.3.3.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Etapa 1.2.3.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = \pm 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Etapa 1.2.3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Etapa 1.2.3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Etapa 1.2.3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 4$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $4$ por $x$ .

$y = 4 y = \frac{4}{4}$

Etapa 1.3.2

Remova os parênteses.

$y = 4$

Etapa 1.4

Substitua $4$ por $x$ em $y = \frac{4}{4}$ e resolva $y$ .

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Etapa 1.4.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{4}{4}$

Etapa 1.4.2

Divida $4$ por $4$ .

$y = 1$

Etapa 1.5

Avalie $y$ quando $x = - 4$ .

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Etapa 1.5.1

Substitua $- 4$ por $x$ .

$y = - 4 y = \frac{- 4}{4}$

Etapa 1.5.2

Remova os parênteses.

$y = - 4$

Etapa 1.6

Divida $- 4$ por $4$ .

$y = - 1$

Etapa 1.7

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(4, 1)$

$(- 4, - 1)$

$(4, 1)$

$(- 4, - 1)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 4}^{4} x d x - \int_{- 4}^{4} \frac{16}{x} d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 4$ e $4$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 4}^{4} x - (\frac{16}{x}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $\frac{16}{x}$ .

$\int_{- 4}^{4} x - \frac{16}{x} d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 4}^{4} x d x + \int_{- 4}^{4} - \frac{16}{x} d x$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} + \int_{- 4}^{4} - \frac{16}{x} d x$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - \int_{- 4}^{4} \frac{16}{x} d x$

Etapa 3.6

Como $16$ é constante com relação a $x$ , mova $16$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - (16 \int_{- 4}^{4} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 3.7

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - 16 \int_{- 4}^{4} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.8

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - 16 (\ln (| x |)]_{- 4}^{4})$

Etapa 3.9

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.9.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.9.1.1

Avalie $\frac{1}{2} x^{2}$ em $4$ e em $- 4$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| x |)]_{- 4}^{4})$

Etapa 3.9.1.2

Avalie $\ln (| x |)$ em $4$ e em $- 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Etapa 3.9.1.3

Simplifique.

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Etapa 3.9.1.3.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Etapa 3.9.1.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $16$ .

$\frac{16}{2} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Etapa 3.9.1.3.3

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

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Etapa 3.9.1.3.3.1

Fatore $2$ de $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Etapa 3.9.1.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.3.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Etapa 3.9.1.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Etapa 3.9.1.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{1} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Etapa 3.9.1.3.3.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$8 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Etapa 3.9.1.3.4

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$8 - \frac{1}{2} \cdot 16 - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Etapa 3.9.1.3.5

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$8 - 16 (\frac{1}{2}) - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Etapa 3.9.1.3.6

Combine $- 16$ e $\frac{1}{2}$ .

$8 + \frac{- 16}{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Etapa 3.9.1.3.7

Cancele o fator comum de $- 16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.3.7.1

Fatore $2$ de $- 16$ .

$8 + \frac{2 \cdot - 8}{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Etapa 3.9.1.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.3.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$8 + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Etapa 3.9.1.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$8 + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Etapa 3.9.1.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$8 + \frac{- 8}{1} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Etapa 3.9.1.3.7.2.4

Divida $- 8$ por $1$ .

$8 - 8 - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Etapa 3.9.1.3.8

Subtraia $8$ de $8$ .

$0 - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Etapa 3.9.1.3.9

Subtraia $16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$ de $0$ .

$- 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Etapa 3.9.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 16 \ln (\frac{| 4 |}{| - 4 |})$

Etapa 3.9.3

Simplifique.

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Etapa 3.9.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $4$ é $4$ .

$- 16 \ln (\frac{4}{| - 4 |})$

Etapa 3.9.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 4$ e $0$ é $4$ .

$- 16 \ln (\frac{4}{4})$

Etapa 3.9.3.3

Divida $4$ por $4$ .

$- 16 \ln (1)$

Etapa 3.9.3.4

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$- 16 \cdot 0$

Etapa 3.9.3.5

Multiplique $- 16$ por $0$ .

$0$

Etapa 4