Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{- 2 e^{x}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} - 2 e^{x}}$

Etapa 1.2

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - 2 e^{x}}$

Etapa 1.3

Como a função $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ , a constante negativa $- 2$ vezes a função se aproxima de $- \infty$ .

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Etapa 1.3.1

Considere o limite com o múltiplo constante $- 2$ removido.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Etapa 1.3.2

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.3.3

Como a função $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ , a constante negativa $- 2$ vezes a função se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{\infty}{- \infty}$

Etapa 1.3.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{- \infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{- \infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{- \infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{- 2 e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Etapa 3.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 e^{x}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 e^{x}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- 2 e^{x}}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{- 2 e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (- 2 e^{x})}$

Etapa 5.2

Mova o termo $\frac{1}{- 2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (e^{x})}$

Etapa 6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x (e^{x})}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot 0$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2} \cdot 0$

Etapa 7.2

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Etapa 7.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$0 (\frac{1}{2})$

Etapa 7.2.2

Multiplique $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$0$