Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{\frac{x}{4}}}$

Etapa 1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 e^{\frac{x}{4}}}$

Etapa 1.3

Como a função $e^{\frac{1}{4} x}$ se aproxima de $\infty$ , a constante positiva $7$ vezes a função também se aproxima de $\infty$ .

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Etapa 1.3.1

Considere o limite com o múltiplo constante $7$ removido.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{4} x}}$

Etapa 1.3.2

Como o expoente $\frac{1}{4} x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{\frac{1}{4} x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.3.3

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{7 e^{\frac{x}{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{\frac{x}{4}}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{\frac{x}{4}}]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [7 e^{\frac{x}{4}}]}$

Etapa 3.3

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 e^{\frac{x}{4}}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])}$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 (e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])}$

Etapa 3.5

Remova os parênteses.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Etapa 3.6

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 e^{\frac{x}{4}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.7

Combine $\frac{1}{4}$ e $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7}{4} e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.8

Combine $\frac{7}{4}$ e $e^{\frac{x}{4}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7 e^{\frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7 e^{\frac{x}{4}}}{4} \cdot 1}$

Etapa 3.10

Multiplique $\frac{7 e^{\frac{x}{4}}}{4}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7 e^{\frac{x}{4}}}{4}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \infty} 3 x^{2} \frac{4}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

Etapa 5

Combine os fatores.

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Etapa 5.1

Combine $3$ e $\frac{4}{7 e^{\frac{x}{4}}}$ .

$lim_{x \to \infty} x^{2} \frac{3 \cdot 4}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

Etapa 5.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$lim_{x \to \infty} x^{2} \frac{12}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

Etapa 5.3

Combine $x^{2}$ e $\frac{12}{7 e^{\frac{x}{4}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} \cdot 12}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

Etapa 6

Mova o termo $\frac{12}{7}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{\frac{x}{4}}}$

Etapa 7

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 7.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 7.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{12}{7} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{4}}}$

Etapa 7.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{12}{7} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{4}}}$

Etapa 7.1.3

Como o expoente $\frac{x}{4}$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{\frac{x}{4}}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{12}{7} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 7.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{12}{7} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{\frac{x}{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Etapa 7.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 7.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Etapa 7.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Etapa 7.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Etapa 7.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{4}$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Etapa 7.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Etapa 7.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{4}$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Etapa 7.3.4

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 7.3.5

Combine $\frac{1}{4}$ e $e^{\frac{x}{4}}$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 7.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \cdot 1}$

Etapa 7.3.7

Multiplique $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ por $1$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}$

Etapa 7.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} 2 x \frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$

Etapa 7.5

Combine os fatores.

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Etapa 7.5.1

Combine $2$ e $\frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} x \frac{2 \cdot 4}{e^{\frac{x}{4}}}$

Etapa 7.5.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} x \frac{8}{e^{\frac{x}{4}}}$

Etapa 7.5.3

Combine $x$ e $\frac{8}{e^{\frac{x}{4}}}$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 8}{e^{\frac{x}{4}}}$

Etapa 8

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{4}}}$

Etapa 9

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 9.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 9.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{12}{7} \cdot 8 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{4}}}$

Etapa 9.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{12}{7} \cdot 8 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{4}}}$

Etapa 9.1.3

Como o expoente $\frac{x}{4}$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{\frac{x}{4}}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 9.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{12}{7} \cdot 8 \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 9.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Etapa 9.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 9.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Etapa 9.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Etapa 9.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Etapa 9.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{4}$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Etapa 9.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Etapa 9.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{4}$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Etapa 9.3.4

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 9.3.5

Combine $\frac{1}{4}$ e $e^{\frac{x}{4}}$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 9.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \cdot 1}$

Etapa 9.3.7

Multiplique $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ por $1$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}$

Etapa 9.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} 1 \frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$

Etapa 9.5

Multiplique $\frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$ por $1$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$

Etapa 10

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{4}}}$

Etapa 11

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{e^{\frac{x}{4}}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 \cdot 4 \cdot 0$

Etapa 12

Simplifique a resposta.

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Etapa 12.1

Multiplique $\frac{12}{7} \cdot 8$ .

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Etapa 12.1.1

Combine $\frac{12}{7}$ e $8$ .

$\frac{12 \cdot 8}{7} \cdot 4 \cdot 0$

Etapa 12.1.2

Multiplique $12$ por $8$ .

$\frac{96}{7} \cdot 4 \cdot 0$

Etapa 12.2

Multiplique $\frac{96}{7} \cdot 4$ .

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Etapa 12.2.1

Combine $\frac{96}{7}$ e $4$ .

$\frac{96 \cdot 4}{7} \cdot 0$

Etapa 12.2.2

Multiplique $96$ por $4$ .

$\frac{384}{7} \cdot 0$

Etapa 12.3

Multiplique $\frac{384}{7}$ por $0$ .

$0$