Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\ln (\sec (x))}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Etapa 1.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} \sec (x))}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{0}{\ln (\sec (lim_{x \to 0} x))}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\ln (\sec (0))}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Etapa 1.3.3.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\ln (\sec (x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sec (x)$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Etapa 3.4

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Etapa 3.5

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Etapa 3.6

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Etapa 3.7

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos (x) (\sec (x) \tan (x))}$

Etapa 3.8

Remova os parênteses.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos (x) \sec (x) \tan (x)}$

Etapa 3.9

Simplifique.

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Etapa 3.9.1

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.9.1.1

Reordene $\cos (x)$ e $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sec (x) \cos (x) \tan (x)}$

Etapa 3.9.1.2

Reescreva $\cos (x) \sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) \tan (x)}$

Etapa 3.9.1.3

Cancele os fatores comuns.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{1 \tan (x)}$

Etapa 3.9.2

Multiplique $\tan (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (x)}$

Etapa 3.9.3

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} 2 x \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 5

Combine os fatores.

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Etapa 5.1

Combine $2$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} x \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 5.2

Combine $x$ e $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (2 \cos (x))}{\sin (x)}$

Etapa 6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$

Etapa 7

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 7.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 7.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$2 \frac{lim_{x \to 0} x (\cos (x))}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 7.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 7.1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 7.1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$2 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 7.1.2.3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 7.1.2.3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 7.1.2.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 7.1.2.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1.2.4.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$2 \frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 7.1.2.4.2

Multiplique $0$ por $1$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 7.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 7.1.3.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$2 \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 7.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 \frac{0}{\sin (0)}$

Etapa 7.1.3.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 7.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 7.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 7.2

$lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 7.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 7.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 7.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 7.3.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 7.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 7.3.5

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 7.3.6

Reordene os termos.

$2 lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 7.3.7

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x)}$

Etapa 8

Avalie o limite.

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Etapa 8.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 8.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 8.3

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 8.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$2 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 8.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$2 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 8.6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$2 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 9

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 9.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 9.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 9.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 9.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}{\cos (0)}$

Etapa 10

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$2 \frac{0 \cdot 0 + \cos (0)}{\cos (0)}$

Etapa 10.1.2

Multiplique $0$ por $0$ .

$2 \frac{0 + \cos (0)}{\cos (0)}$

Etapa 10.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$2 \frac{0 + 1}{\cos (0)}$

Etapa 10.1.4

Some $0$ e $1$ .

$2 \frac{1}{\cos (0)}$

Etapa 10.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Etapa 10.3

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 10.3.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{1}{1})$

Etapa 10.3.2

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 1$

Etapa 10.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$