Cálculo Exemplos

$y = {(1 + \frac{5}{x})}^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 1 + \frac{5}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + \frac{5}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 + \frac{5}{x}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{5}{x}]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + \frac{5}{x}$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{5}{x}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \frac{5}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}])$

Etapa 1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}])$

Etapa 1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Etapa 1.2.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5}{x}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 1.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Multiplique $5$ por $3$ .

$15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.2.5.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (- x^{- 2})$

Etapa 1.2.7

Multiplique $- 1$ por $15$ .

$- 15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} x^{- 2}$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $- 15$ .

$\frac{- 15}{x^{2}} {(1 + \frac{5}{x})}^{2}$

Etapa 1.3.2.2

Combine $\frac{- 15}{x^{2}}$ e ${(1 + \frac{5}{x})}^{2}$ .

$\frac{- 15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{15 {(\frac{x}{x} + \frac{5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{15 {(\frac{x + 5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.3

Aplique a regra do produto a $\frac{x + 5}{x}$ .

$- \frac{15 \frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Etapa 1.3.4

Combine $15$ e $\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{\frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Etapa 1.3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (\frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 1.3.6

Combine.

$- \frac{15 {(x + 5)}^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}}$

Etapa 1.3.7

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.7.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{15 {(x + 5)}^{2} \cdot 1}{x^{2 + 2}}$

Etapa 1.3.7.2

Some $2$ e $2$ .

$- \frac{15 {(x + 5)}^{2} \cdot 1}{x^{4}}$

Etapa 1.3.8

Multiplique $15 {(x + 5)}^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{4}}$ em relação a $x$ é $- 15 \frac{d}{d x} [\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{4}}]$ .

$- 15 \frac{d}{d x} [\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{4}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = {(x + 5)}^{2}$ e $g (x) = x^{4}$ .

$- 15 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}] - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 15 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}] - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$- 15 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}] - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 5$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 5$ .

$- 15 \frac{x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 u \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 5$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [5])) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 2.5.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) (1 + 0)) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 2.5.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) \cdot 1) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 2.5.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5)) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 2.5.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5)) - {(x + 5)}^{2} (4 x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.5.6

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3}}{x^{8}}$

Etapa 2.5.6.2

Combine $- 15$ e $\frac{x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3}}{x^{8}}$ .

$\frac{- 15 (x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.5.6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{15 (x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{15 (x^{4} (2 x + 2 \cdot 5) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{15 (x^{4} (2 x) + x^{4} (2 \cdot 5) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{15 (x^{4} (2 x)) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.1.1

Mova $x$ .

$- \frac{15 (x \cdot x^{4} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{15 (x^{1} x^{4} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{15 (x^{1 + 4} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.1.3

Some $1$ e $4$ .

$- \frac{15 (x^{5} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{5}$ .

$- \frac{15 (2 \cdot x^{5}) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.3

Multiplique $2$ por $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.4

Multiplique $2$ por $5$ .

$- \frac{30 x^{5} + 15 (x^{4} \cdot 10) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.5

Mova $10$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$- \frac{30 x^{5} + 15 (10 \cdot x^{4}) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.6

Multiplique $10$ por $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.7

Reescreva ${(x + 5)}^{2}$ como $(x + 5) (x + 5)$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 ((x + 5) (x + 5)) x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.8

Expanda $(x + 5) (x + 5)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x (x + 5) + 5 (x + 5)) x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.9.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.9.1.2

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.9.1.3

Multiplique $5$ por $5$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.9.2

Some $5 x$ e $5 x$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + 10 x + 25) x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.10

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 ((- 4 x^{2} - 4 (10 x) - 4 \cdot 25) x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.11.1

Multiplique $10$ por $- 4$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 ((- 4 x^{2} - 40 x - 4 \cdot 25) x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.11.2

Multiplique $- 4$ por $25$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 ((- 4 x^{2} - 40 x - 100) x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.12

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{2} x^{3} - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.13.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.13.1.1

Mova $x^{3}$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.13.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{3 + 2} - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.13.1.3

Some $3$ e $2$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.13.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.13.2.1

Mova $x^{3}$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 (x^{3} x) - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.13.2.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.13.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 (x^{3} x^{1}) - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.13.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 x^{3 + 1} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.13.2.3

Some $3$ e $1$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 x^{4} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.14

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5}) + 15 (- 40 x^{4}) + 15 (- 100 x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.15.1

Multiplique $- 4$ por $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} - 60 x^{5} + 15 (- 40 x^{4}) + 15 (- 100 x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.15.2

Multiplique $- 40$ por $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} - 60 x^{5} - 600 x^{4} + 15 (- 100 x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.1.15.3

Multiplique $- 100$ por $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} - 60 x^{5} - 600 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.2

Subtraia $60 x^{5}$ de $30 x^{5}$ .

$- \frac{- 30 x^{5} + 150 x^{4} - 600 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

Etapa 2.6.4.3

Subtraia $600 x^{4}$ de $150 x^{4}$ .

$- \frac{- 30 x^{5} - 450 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

Etapa 2.6.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.5.1

Fatore $30 x^{3}$ de $- 30 x^{5} - 450 x^{4} - 1500 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.5.1.1

Fatore $30 x^{3}$ de $- 30 x^{5}$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2}) - 450 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

Etapa 2.6.5.1.2

Fatore $30 x^{3}$ de $- 450 x^{4}$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2}) + 30 x^{3} (- 15 x) - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

Etapa 2.6.5.1.3

Fatore $30 x^{3}$ de $- 1500 x^{3}$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2}) + 30 x^{3} (- 15 x) + 30 x^{3} (- 50)}{x^{8}}$

Etapa 2.6.5.1.4

Fatore $30 x^{3}$ de $30 x^{3} (- x^{2}) + 30 x^{3} (- 15 x)$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 15 x) + 30 x^{3} (- 50)}{x^{8}}$

Etapa 2.6.5.1.5

Fatore $30 x^{3}$ de $30 x^{3} (- x^{2} - 15 x) + 30 x^{3} (- 50)$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 15 x - 50)}{x^{8}}$

Etapa 2.6.5.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.5.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 50 = 50$ e cuja soma é $b = - 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.5.2.1.1

Fatore $- 15$ de $- 15 x$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 15 (x) - 50)}{x^{8}}$

Etapa 2.6.5.2.1.2

Reescreva $- 15$ como $- 5$ mais $- 10$

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} + (- 5 - 10) x - 50)}{x^{8}}$

Etapa 2.6.5.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 5 x - 10 x - 50)}{x^{8}}$

Etapa 2.6.5.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.5.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- \frac{30 x^{3} ((- x^{2} - 5 x) - 10 x - 50)}{x^{8}}$

Etapa 2.6.5.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- \frac{30 x^{3} (x (- x - 5) + 10 (- x - 5))}{x^{8}}$

Etapa 2.6.5.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 5$ .

$- \frac{30 x^{3} ((- x - 5) (x + 10))}{x^{8}}$

$- \frac{30 x^{3} (- x - 5) (x + 10)}{x^{8}}$

Etapa 2.6.6

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x^{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.6.1

Fatore $x^{3}$ de $30 x^{3} (- x - 5) (x + 10)$ .

$- \frac{x^{3} ((30 (- x - 5)) (x + 10))}{x^{8}}$

Etapa 2.6.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.6.2.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{8}$ .

$- \frac{x^{3} ((30 (- x - 5)) (x + 10))}{x^{3} x^{5}}$

Etapa 2.6.6.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{x^{3} ((30 (- x - 5)) (x + 10))}{x^{3} x^{5}}$

Etapa 2.6.6.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{(30 (- x - 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Etapa 2.6.7

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$- \frac{30 (- (x) - 5) (x + 10)}{x^{5}}$

Etapa 2.6.8

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$- \frac{30 (- (x) - 1 (5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Etapa 2.6.9

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (5)$ .

$- \frac{30 (- (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Etapa 2.6.10

Reescreva $- (x + 5)$ como $- 1 (x + 5)$ .

$- \frac{30 (- 1 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Etapa 2.6.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Etapa 2.6.12

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Etapa 2.6.13

Multiplique $\frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$ por $1$ .

$\frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Etapa 2.6.14

Reordene os fatores em $\frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{30 (x + 5) (x + 10)}{x^{5}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $30$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{30 (x + 5) (x + 10)}{x^{5}}$ em relação a $x$ é $30 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 5) (x + 10)}{x^{5}}]$ .

$30 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 5) (x + 10)}{x^{5}}]$

Etapa 3.2

$30 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 10)] - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$30 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 10)] - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$30 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 10)] - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 5$ e $g (x) = x + 10$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 10] + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 3.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 3.5.3

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) (1 + 0) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 3.5.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) \cdot 1 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 3.5.4.2

Multiplique $x + 5$ por $1$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 3.5.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 3.5.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) (1 + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 3.5.7

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) (1 + 0)) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 3.5.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.1

Some $1$ e $0$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) \cdot 1) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 3.5.8.2

Multiplique $x + 10$ por $1$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + x + 10) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 3.5.8.3

Some $x$ e $x$ .

$30 \frac{x^{5} (2 x + 5 + 10) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 3.5.8.4

Some $5$ e $10$ .

$30 \frac{x^{5} (2 x + 15) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 3.5.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$30 \frac{x^{5} (2 x + 15) - (x + 5) (x + 10) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Etapa 3.5.10

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.10.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$30 \frac{x^{5} (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}}{x^{10}}$

Etapa 3.5.10.2

Fatore $x^{4}$ de $x^{5} (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.10.2.1

Fatore $x^{4}$ de $x^{5} (2 x + 15)$ .

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15)) - 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}}{x^{10}}$

Etapa 3.5.10.2.2

Fatore $x^{4}$ de $- 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}$ .

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15)) + x^{4} (- 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{10}}$

Etapa 3.5.10.2.3

Fatore $x^{4}$ de $x^{4} (x (2 x + 15)) + x^{4} (- 5 (x + 5) (x + 10))$ .

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{10}}$

Etapa 3.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Fatore $x^{4}$ de $x^{10}$ .

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{4} x^{6}}$

Etapa 3.6.2

Cancele o fator comum.

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{4} x^{6}}$

Etapa 3.6.3

Reescreva a expressão.

$30 \frac{x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10)}{x^{6}}$

Etapa 3.7

Combine $30$ e $\frac{x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10)}{x^{6}}$ .

$\frac{30 (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Etapa 3.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{30 (x (2 x) + x \cdot 15 - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Etapa 3.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{30 (x (2 x) + x \cdot 15 + (- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Etapa 3.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{30 (x (2 x)) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{30 (x \cdot x \cdot 2) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{30 (x^{2} \cdot 2) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{30 (2 \cdot x^{2}) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.1.3

Multiplique $2$ por $30$ .

$\frac{60 x^{2} + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.1.4

Mova $15$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{60 x^{2} + 30 (15 \cdot x) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.1.5

Multiplique $15$ por $30$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.1.6

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 ((- 5 x - 25) (x + 10))}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.1.7

Expanda $(- 5 x - 25) (x + 10)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x (x + 10) - 25 (x + 10))}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x \cdot x - 5 x \cdot 10 - 25 (x + 10))}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.1.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x \cdot x - 5 x \cdot 10 - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.1.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.8.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.8.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 (x \cdot x) - 5 x \cdot 10 - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.1.8.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 5 x \cdot 10 - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.1.8.1.2

Multiplique $10$ por $- 5$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 50 x - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.1.8.1.3

Multiplique $- 25$ por $10$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 50 x - 25 x - 250)}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.1.8.2

Subtraia $25 x$ de $- 50 x$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 75 x - 250)}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.1.9

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2}) + 30 (- 75 x) + 30 \cdot - 250}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.1.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1.10.1

Multiplique $- 5$ por $30$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x - 150 x^{2} + 30 (- 75 x) + 30 \cdot - 250}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.1.10.2

Multiplique $- 75$ por $30$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x - 150 x^{2} - 2250 x + 30 \cdot - 250}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.1.10.3

Multiplique $30$ por $- 250$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x - 150 x^{2} - 2250 x - 7500}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.2

Subtraia $150 x^{2}$ de $60 x^{2}$ .

$\frac{- 90 x^{2} + 450 x - 2250 x - 7500}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.3

Subtraia $2250 x$ de $450 x$ .

$\frac{- 90 x^{2} - 1800 x - 7500}{x^{6}}$

Etapa 3.8.5

Fatore $30$ de $- 90 x^{2} - 1800 x - 7500$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.5.1

Fatore $30$ de $- 90 x^{2}$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2}) - 1800 x - 7500}{x^{6}}$

Etapa 3.8.5.2

Fatore $30$ de $- 1800 x$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2}) + 30 (- 60 x) - 7500}{x^{6}}$

Etapa 3.8.5.3

Fatore $30$ de $- 7500$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2}) + 30 (- 60 x) + 30 (- 250)}{x^{6}}$

Etapa 3.8.5.4

Fatore $30$ de $30 (- 3 x^{2}) + 30 (- 60 x)$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2} - 60 x) + 30 (- 250)}{x^{6}}$

Etapa 3.8.5.5

Fatore $30$ de $30 (- 3 x^{2} - 60 x) + 30 (- 250)$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2} - 60 x - 250)}{x^{6}}$

Etapa 3.8.6

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2}) - 60 x - 250)}{x^{6}}$

Etapa 3.8.7

Fatore $- 1$ de $- 60 x$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2}) - (60 x) - 250)}{x^{6}}$

Etapa 3.8.8

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2}) - (60 x)$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2} + 60 x) - 250)}{x^{6}}$

Etapa 3.8.9

Reescreva $- 250$ como $- 1 (250)$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2} + 60 x) - 1 (250))}{x^{6}}$

Etapa 3.8.10

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2} + 60 x) - 1 (250)$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2} + 60 x + 250))}{x^{6}}$

Etapa 3.8.11

Reescreva $- (3 x^{2} + 60 x + 250)$ como $- 1 (3 x^{2} + 60 x + 250)$ .

$\frac{30 (- 1 (3 x^{2} + 60 x + 250))}{x^{6}}$

Etapa 3.8.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f''' (x) = - \frac{30 (3 x^{2} + 60 x + 250)}{x^{6}}$